Cho trước a, b thuộc tập R ; gọi x, y là 2 số thực thoả mãn :
x + y = a + b và x3 + y3 = a3 + b3
Chứng minh rằng : x2011 + y2011 = a2011 + b2011
Cho trước a, b thuộc tập R ; gọi x, y là 2 số thực thoả mãn :
x + y = a + b và x3 + y3 = a3 + b3
Chứng minh rằng : x2011 + y2011 = a2011 + b2011
Boy đa tình
Ta có $x^3+y^3=a^3+b^3<=> (x+y)(x^2-xy+y^2)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Với $x+y=a+b=0=>t/m$
Với $x+y=a+b\neq 0=> x^2-xy+y^2=a^2-ab+b^2$
$x+y=a+b=>b=x+y-a=>x^2-xy+y^2=a^2-a(x+y-a)+(x+y-a)^2$
$<=>3(a-x)(a-y)=0$
$=> a=x$ hoặc $a=y$
Lúc này thay vào là ra
Cho trước a, b thuộc tập R ; gọi x, y là 2 số thực thoả mãn :
x + y = a + b và x3 + y3 = a3 + b3
Chứng minh rằng : x2011 + y2011 = a2011 + b2011
Ta có $x^3+y^3=a^3+b^3$ <=> $(x+y)^3-3xy(x+y)=(a+b)^3-3ab(a+b)$ => $xy=ab$ ( Do $x+y=a+b$ )
Đặt $x+y=a+b=S$ ; $xy=ab=P$
=> $x,y$ là nghiệm của PT : $f^2-Sf+P=0$ (1)
$a,b$ là nghiệm của PT :$f^2-Sf+P=0$ (2)
Từ (1) ,(2) => $(x,y)=(a,b)$ và $(y,x)=(b,a)$
$=>\left\{\begin{matrix} x^{2011}=a^{2011} & \\ y^{2011}=b^{2011} & \end{matrix}\right.$
=> $x^{2011}+y^{2011}=a^{2011}+b^{2011}$ (đ.f.c.m)
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh