Chủ đề này có 1 trả lời

[4869msnssk]

1) cho phương trình $ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$. chứng minh rằng nếu phương trình trên  có nghiệm thì $5(a+b)\geq4$

2) cho a,b,c>0 và $\frac{1}{1+a} +\frac{35}{35+2b}\leq\frac{4c}{4c+57}$. tìm min của A=abc

[Forgive Yourself]

1) cho phương trình $ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$. chứng minh rằng nếu phương trình trên  có nghiệm thì $5(a+b)\geq4$

 

Mình nghĩ ở đây phải là $5(a^2+b^2)\geq 4$

 

Giả sử $x_0$ là một nghiệm của phương trình. Rõ ràng $x\neq 0$. Ta có

 

$x_0^4+ax_0^3+bx_0^2+ax_0+1=0\Leftrightarrow x_0^2+ax_0+b+\frac{a}{x_0}+\frac{1}{x_0^2}=0$ ($*$)

 

Đặt $t=x_0+\frac{1}{x_0}$ thì $t^2\geq 4$, phương trình ($*$) trở thành $t^2-2+at+b=0$

 

Suy ra $(t^2-2)^2=(-at-b)^2\leq (a^2+b^2)(t^2+1)$

 

$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(t^2-2)^2}{t^2+1}\geq \frac{\left ( t^2-\frac{t^2}{2} \right )^2}{t^2+\frac{t^2}{4}}=\frac{1}{5}t^2\geq \frac{4}{5}$

 

Dấu $"="$ xảy ra chẳng hạn khi $a=-\frac{4}{5},b=-\frac{2}{5}$ (tương ứng với $x=1,t=2$)

 

Vậy $5(a^2+b^2)\geq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 24-02-2014 - 17:41