Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR :

 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt[6]{\frac{a^6+b^6}{2}}+\sqrt[6]{\frac{b^6+c^6}{2}}+\sqrt[6]{\frac{c^6+a^6}{2}}$

 

[Hoang Tung 126]

Lời giải :Theo AM-GM 6 số có:

   $\frac{a^2+b^2}{2b}+\frac{a^2-ab\sqrt{3}+b^2}{b(2-\sqrt{3})}+\frac{a^2+ab\sqrt{3}+b^2}{b(2+\sqrt{3})}+b+b+b\geq 6\sqrt[6]{\frac{(a^2+b^2)(a^2-ab\sqrt{3}+b^2)(a^2+ab\sqrt{3}+b^2)}{2(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}}=6\sqrt[6]{\frac{(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)}{2}}=6\sqrt[6]{\frac{a^6+b^6}{2}}$

Lập các bđt tương tự rồi cộng theo vế và thu gọn ta được 

  $\sum \frac{a^2}{b}+\sum a\geq 2\sum \sqrt[6]{\frac{a^6+b^6}{2}}= > \sum \frac{a^2}{b}\geq 2\sum \sqrt[6]{\frac{a^6+b^6}{2}}-\sum a\geq 2\sum \sqrt[6]{\frac{a^6+b^6}{2}}-\sum \sqrt[6]{\frac{a^6+b^6}{2}}=\sum \sqrt[6]{\frac{a^6+b^6}{2}}$(ĐPCM)

(Do áp dụng bđt $\frac{x+y}{2}\leq \sqrt[6]{\frac{x^6+y^6}{2}}$)

 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

[banhgaongonngon]

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR :

 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt[6]{\frac{a^6+b^6}{2}}+\sqrt[6]{\frac{b^6+c^6}{2}}+\sqrt[6]{\frac{c^6+a^6}{2}}$

 

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}$ ta có

$\mathrm{VP}\leq \sum \sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}}$

 

Ta có

$\sum \frac{a^{2}}{b}-\sum a=\sum \frac{(a-b)^{2}}{b}$

$\sum \sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}}-\sum \frac{a+b}{2}=\sum \frac{(a-b)^{2}\left ( 3a^{2}+4ab+3b^{2} \right )}{4\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( \sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}}+\frac{a+b}{2} \right )}$

 

Mặt khác ta có

$4\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( \sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}} +\frac{a+b}{2}\right )$

$=4\sqrt{\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( a^{4}+b^{4} \right )}+2(a+b)\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

$\geq 4\left ( a^{3} +b^{3}\right )+2(a+b)\left ( a^{2}+b^{2} \right ) $

$=6\left ( a^{3}+b^{3} \right )+2ab(a+b)$

$> b\left ( 3a^{2}+4ab+3b^{2} \right )$

 

Từ đó suy ra

$\sum \frac{a^{2}}{b}-\sum a\geq \sum \sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}}-\sum a$

 

nên

$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum \sqrt{\frac{a^{6}+b^{6}}{2}}$

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$