Chủ đề này có 446 trả lời

[lovemathforever99]

 

149) $\left\{\begin{matrix}x^3-6y^2+12y-8=0 & & \\ y^3-6z^2+12z-8=0 & & \\ z^3-6x^2+12x-8=0 \end{matrix}\right.$

 

154) $\left\{\begin{matrix}x^3-9y^2+27y-27=0 & & \\ y^3-9z^2+27z-27=0 & & \\ z^3-9x^2+27x-27=0 \end{matrix}\right.$

2 bài này giống nhau.

 

 149) Cộng 3 vế của 3 PT, ta được : $(x-2)^{3}+(y-2)^{3}+(z-2)^{3}=0$(*)

Ta thấy $x^{3}=6y^{2}-12y+8=6(y-1)^{2}+2> 0\Rightarrow x> 0$

Tương tự... $x,y,z> 0$

 

Giả sử 

• $x>2$. Từ PT 1 :    $6y^{2}-12y+8=x^{3}> 8\Rightarrow y(y-2)> 0$

Vì $y>0$, suy ra $y-2>0 \Rightarrow y>2$. 

Tương tự $z>2$ $\Rightarrow (x-2)^{3}+(y-2)^{3}+(z-2)^{3}> 0$(loại vì ko thỏa mãn PT (*))

• $x< 2$. Tương tự trên suy ra $y<2,z<2$

$\Rightarrow (x-2)^{3}+(y-2)^{3}+(z-2)^{3}< 0$(loại)

 

Vậy $x=2$.

Giả sử tương tự với $y,z$

Nghiệm $x=y=z=2$.

 

154)Cộng 3 vế PT : $(x-3)^{3}+(y-3)^{3}+(z-3)^{3}=0$

Giải tương tự.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 12-04-2014 - 17:50

[lovemathforever99]

 

151) $\left\{\begin{matrix}2xy=x+y+1 & & \\ 2yz=y+z+1 & & \\ 2zx=z+x+1 \end{matrix}\right.$  

 

PT 1 trừ PT 2: $2y(x-z)=x-z$$\Leftrightarrow (x-z)(2y-1)=0$

• $x=z$

Tương tự...  $\Rightarrow x=y=z$

$\Rightarrow 2x^{2}-2x-1=0\Rightarrow x=y=z=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$

• $y=\frac{1}{2}$$\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 12-04-2014 - 19:21

[Viet Hoang 99]

Xét $x=0$, từ PT 1 suy ra $y=-1$,, từ PT 2 suy ra $z=0$, thế vào PT 3 thấy ko thỏa mãn.

Vậy $x,y,z\neq 0$

 

PT 1 trừ PT 2: $2y(x-z)=x-z$

Vì $y\neq 0\Rightarrow x=z$

 

Tương tự...  $\Rightarrow x=y=z$

$\Rightarrow 2x^{2}-2x-1=0\Rightarrow x=y=z=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$

$y=\frac{1}{2}$ vẫn thỏa mãn mà , sửa đi bạn

 

 

 

 

149) $\left\{\begin{matrix}x^3-6y^2+12y-8=0 & & \\ y^3-6z^2+12z-8=0 & & \\ z^3-6x^2+12x-8=0 \end{matrix}\right.$

 

 

149)
Cách 2:

$x^3=6y^2-12y+8=6(y-1)^2+2\Rightarrow x>1\Rightarrow x;y;z>1$

 

Giả sử: $x\geq y\geq z>1$

Do $x\geq y\Rightarrow 6(x-1)^2+2\geq 6(y-1)^2+2\Rightarrow z\geq x\Rightarrow x=z$
Tương tự $\Rightarrow x=y=z$

Thay vào tìm ra $x=y=z=2$

[hoangmanhquan]

148) $\left\{\begin{matrix}2x=y^3+y^2+y-1 & & \\ 2y=z^3+z^2+z-1 & & \\ 2z=x^3+x^3+x-1 \end{matrix}\right.$

 

152) $\left\{\begin{matrix}x=y^3+y^2+y-2 & & \\ y=z^3+z^2+z-2 & & \\ z=x^3+x^2+x-2 \end{matrix}\right.$

153) $\left\{\begin{matrix}x^3+2x^2+x=y+3 & & \\ y^3+2y^2+y=z+3 & & \\ z^3+2z^2+z=x+3 \end{matrix}\right.$

Giả sử:$x=max\left \{x,y,z \right \}$

 

$=>\left\{\begin{matrix} x\geq y\\ x\geq z \end{matrix}\right.$

 

$=>2x\geq x^3+x^2+x-1$

$<=>x^3+x^2-x-1\leq 0$

$<=>(x-1)^2(x+1)\leq 0$

$<=>x+1\leq0 =>y+1\leq 0$

$=>(y-1)^2(y+1)\leq0$

$=>2y\geq y^3+y^2+y-1$

$<=>2y\geq2x $

$<=>y\geq x $

$=>x=y $

$=>y=x=z=1$

Làm tương tự với các bài: 152, 153

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 12-04-2014 - 20:30

[hoangmanhquan]

Bài 154:

Giải HPT:
$\left\{\begin{matrix}6x^2y+2y^3+35=0\\  5x^2+5y^2+2xy+5x+13y=0 \end{matrix}\right.$

 

p/s: Bài này khá hay.!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-04-2014 - 20:45

[Viet Hoang 99]

Bài 154:

Giải HPT:
$\left\{\begin{matrix}6x^2y+2y^3+35=0\\  5x^2+5y^2+2xy+5x+13y=0 \end{matrix}\right.$

 

p/s: Bài này khá hay.!

Cách 1: 

 

Hệ đã cho $\Leftrightarrow \begin{cases} (x+y)^{3}-(x-y)^{3}+35=0  \\  3(x+y)^{2}+2(x-y)^{2}+9(x+y)-4(x y)=0 \end{cases}$

Đặt $x+y=u$, $x-y=v$. Hệ trở thành:

$\begin{cases} u^{3}-v^{3}+35=0    (1)\\  3u^{2}+2v^{2}+9u-4v=0    (2) \end{cases}$

Lấy (1) cộng 3 lần (2) theo vế, ta có:

$(u+3)^{3}=(v-2)^{2}\Leftrightarrow u+3=v-2$

Đến đây dễ dàng tìm được $x,y$

 

Cách 2:

 

 Nhân PT 2 với 3 rồi cộng lại ta được:
$6x^2y+2y^3+35+15x^2+15y^2+6x(2y+5)+39y=0$
$\Leftrightarrow 6x^2y+15x^2+2y^3+5y^2+10y^2+25y+14y+35+6x(2y+5)=0$
$\Leftrightarrow (2y+5)(6x^2+2y^2+10y+14+6x)$
$\Leftrightarrow (2y+5)[6(x+\frac{1}{2}^2)+2(y+\frac{5}{2})^2]=0$
Suy ra $y=\frac{-5}{2}$ thay vào PT 1 ta được $x=\pm \frac{1}{2}$
hoặc BT thứ 2 bằng 0 thì $y=\frac{-5}{2}$ và $x=\frac{-1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-04-2014 - 20:44

[hoangmanhquan]

Bài 155.1:

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-4x=-1\\ x^3+2x^2y+xy^2-2y^2-7x=2 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 13-04-2014 - 14:31

[lovemathforever99]

Bài 155:

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-4x=-1\\ x^3+2x^2y+xy^2-2y^2-7x=2 \end{matrix}\right.$

Xét $x=0$$\Rightarrow y^{2}=-1\Rightarrow$vô nghiệm

Vậy $x\neq 0$

 

HPT$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2+2xy+2y^2-8x=-2\\ x^3+2x^2y+xy^2-2y^2-7x=2 \end{matrix}\right.$

 

Cộng vế theo vế:

$x^3+2x^2y+xy^2-2y^2-7x+2x^2+2xy+2y^2-8x=0\Leftrightarrow x(x^{2} +2xy+2x+y^{2}+2y-15)=0$

Vì $x\neq 0$ suy ra $x^{2} +2xy+2x+y^{2}+2y-15=0\Rightarrow (x+y)^{2}+2(x+y)-15=0\Rightarrow (x+y-3)(x+y+5)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 12-04-2014 - 22:35

[Huuduc921996]

Bài 155:

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-4x=-1\\ x^3+2x^2y+xy^2-2y^2-7x=2 \end{matrix}\right.$

Cách khác nè:

+ Thấy x=0 không là nghiệm của hệ.

+ Xét x$\neq$0, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-4x=-1\\ x^3+2x^2y+xy^2-2y^2-7x=2 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x+y)+y^2+1=4x\\ x(x+y)^2-2(y^2+1)=7x \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)+\frac{y^2+1}{x}=4\\ (x+y)^2-2\frac{y^2+1}{x}=7 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huuduc921996: 13-04-2014 - 00:09

[Kaito Kuroba]

150) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{-1-x}-\sqrt{2y-x}=1 & & \\ \sqrt{1-2y}+\sqrt{2y-x}=4 & & \end{matrix}\right.$

 

150.

từ phương trình đầu: $\sqrt{-1-x}+\sqrt{2y-x}=1\Rightarrow y^2+x+1=0\Rightarrow x=-y^2-1$
thế vào pt thứ 2 ta được:

 

 

$\sqrt{1-2y}+\sqrt{2y+y^2+1}=4\Leftrightarrow \sqrt{1-2y}+\left | y+1 \right |=4$

đến đây chỉ việc xét 2 TH là OK!!!! (lưu ý ĐK )

nghiệm: $(x;y)=(-49+24\sqrt{3};-6+2\sqrt{3})$

[Viet Hoang 99]

155) $\left\{\begin{matrix}x^3+2y^2-4y+3=0 & & \\ x^2+x^2y^2-2y=0 & & \end{matrix}\right.$

 

156) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{xy}+\sqrt{1-y}=\sqrt{y} & & \\ 2\sqrt{xy-y}-\sqrt{y}=-1 & & \end{matrix}\right.$

 

157) $\left\{\begin{matrix}2x+2y-\sqrt{xy}=3 & & \\ \sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}=4 & & \end{matrix}\right.$

 

158) $\left\{\begin{matrix}1+xy+\sqrt{xy}=x & & \\ \frac{1}{x\sqrt{x}}+y\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{x}}+3\sqrt{y} & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-04-2014 - 19:12

[littlemiumiu21]

$144$:$\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy+3y^2=13\\ x^2+4xy-2y^2=-6 \end{matrix}\right.$

 

 

Có cách 2:
Thấy hệ đã cho là hệ đồng bậc 
Đặt  $x=ky$; $Pt 1=> 2k^{2} y^{2}-ky^{2}+3y^{2} =13 =>y^{2}=\frac{13}{2k^{2}-k+3}$

$Pt2 => k^{2}y^{2} +4ky^{2}-2y^{2} =-6=> y^{2}=\frac{-6}{k^{2}+4k-2} =>\frac{13}{2k^{2}-k+3}=\frac{-6}{k^{2}+4k-2}$

Nhân chéo rồi giải pt => nghiệm 

Nếu không gõ được LATEX thì tốt nhất không tham gia TOPIC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-04-2014 - 10:35

[firetiger05]

159.

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2} =2z-z^{2}& \\ (y-z)^{2}=2x-x^{2}& \\ (z-x)^{2}=2y-y^{2}& \end{matrix}\right.$

P/s: kết luận đủ nghiệm nhá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-04-2014 - 12:27

[Super Fields]

155) $\left\{\begin{matrix}x^3+2y^2-4y+3=0 & & \\ x^2+x^2y^2-2y=0 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x^3+2y^2-4y+3=0(1)& & \\ x^2+x^2y^2-2y=0(2) & & \end{matrix}\right.$

 

Từ phương trình $(1)$, ta có: $x \leq -1\Rightarrow 1-x \geq 0$

 

$2$ lần phương trình $(1)$ trừ pt $(2)$, ta được:

 

$(x+1)[(1-x)(2y^2+3)+x^2]=0$

 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=-1\\ (1-x)(2y^2+3)+x^2=0\end{bmatrix}$

 

Loại TH $2$ vì $1-x \geq 0$ chứng minh trên

 

Vậy $x=-1$ ( thỏa điều kiện) từ đó $y=1$

 

Vậy phương trình có cặp nghiệm duy nhất $(x;y)=(-1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 13-04-2014 - 12:03

[lovemathforever99]

159.

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2} & = 2z-z^{2}\\ (y-z)^{2}& = 2x-x^{2}\\ (z-x)^{2}& = 2y-y^{2} \end{matrix}\right.$

HPT $\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+z^{2} & = 2z\\ (y-z)^{2}+x^{2}& = 2x\\ (z-x)^{2}+y^{2}& = 2y \end{matrix}\right.$

Suy ra $x,y,z\geq 0$

Giả sử $x\geq y\geq z$(1)

 

$\Rightarrow (x-y)^{2}\leq (x-z)^{2}$

$\Rightarrow 2z-z^{2}\leq 2y-y^{2}\Rightarrow (z-1)^{2}\geq (y-1)^{2}\Rightarrow z-1\geq y-1\Rightarrow z\geq y$(2)

 

(1),(2)$\Rightarrow y=z$

 

Thay vào PT :$2x-x^{2}=0\Rightarrow x=0\vee x=2$

• $x=0$. Thay vào PT 1: $y^{2}=y\Rightarrow y=0\vee y=1$

Với $x=0,y=0$ $\Rightarrow z=0$

Với $x=0,y=1$ $\Rightarrow z=1$

• $x=2$ . Thay vào PT 1: $(2-y)^{2}+y^{2}=2y\Rightarrow (y-1)(y-2)=0\Rightarrow y=1\vee y=2$

Với $x=2,y=1$ $\Rightarrow$$z= 1$

Với $x=2,y=2$ $\Rightarrow$$z= 2$

 

 

Vậy Nghiệm PT: $(0;0;0);(2;2;2);(0;1;1);(2;1;1)$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 13-04-2014 - 13:06

[einstein627]

$2$ lần phương trình $(1)$ trừ pt $(2)$, ta được:

sao bạn biết nhân 2 lan pt 2 rồi trừ đi pt 1 hả bạn?

[lovemathforever99]

155) $\left\{\begin{matrix}x^3+2y^2-4y+3=0 & & \\ x^2+x^2y^2-2y=0 & & \end{matrix}\right.$

Cách khác :

PT 1 :  $x^{3}+1+2(y-1)^{2}=0\Rightarrow x^{3}+1\leq 0\Rightarrow x\leq -1$(1)

 

PT 2 :   $x^{2}=\frac{2y}{y^{2}+1}\leq 1\Rightarrow -1\leq x\leq 1$(2)

 

Từ (1),(2) suy ra $x=-1$$\Rightarrow 1+y^{2}-2y=0\Rightarrow y=1$

 

Nghiệm $(-1;1)$

[firetiger05]

HPT $\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+z^{2} & = 2z\\ (y-z)^{2}+x^{2}& = 2x\\ (z-x)^{2}+y^{2}& = 2y \end{matrix}\right.$

Suy ra $x,y,z\geq 0$

Giả sử $x\geq y\geq z$(1)

$\Rightarrow (x-y)^{2}\leq (x-z)^{2}$

$\Rightarrow 2z-z^{2}\leq 2y-y^{2}\Rightarrow (z-1)^{2}\geq (y-1)^{2}\Rightarrow z-1\geq y-1\Rightarrow z\geq y$(2)

 

(1),(2)$\Rightarrow x=y=z$

Thay vào PT :$2x-x^{2}=0\Rightarrow x=0\vee x=2$

 

Nghiệm: $(0;0;0);(2;2;2)$

Thiếu nghiệm nhiều lắm bạn ơi.(0;1;1) (2;1;1) và các hoán vị.

Không biết còn nữa không?

[einstein627]

157) $\left\{\begin{matrix}2x+2y-\sqrt{xy}=3 & & \\ \sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}=4 & & \end{matrix}\right.$

Nhân pt đầu với 3 rồi đặt $\sqrt{3x+1}=a$

                                        $\sqrt{3y+1}=b$

pt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}6x+6y-\sqrt{9xy}=9 & & \\ \sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2a^{2}+2b^{2}-\sqrt{(a^{2}-1)(b^{2}-1)}=12 & & \\ a+b=4 & & \end{matrix}\right.$
Đến đây đặt x+y=S xy=P rồi giải hpt đối xứng loại 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-04-2014 - 12:39

[Kaito Kuroba]

158) $\left\{\begin{matrix}1+xy+\sqrt{xy}=x & & \\ \frac{1}{x\sqrt{x}}+y\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{x}}+3\sqrt{y} & & \end{matrix}\right.$

158.

quy đồng pt thứ 2 ta được: $1+xy\sqrt{xy}=x+3x\sqrt{xy} \Leftrightarrow 1+xy\sqrt{xy}=(1+3\sqrt{xy})x$

thế x của pt (1) vào pt trên được: $1+xy\sqrt{xy}=(1+xy+\sqrt{xy})(1+3\sqrt{xy})$

đến đây là pt theo một ẩn, vô tư giải được:

 

nghiệm: $(x;y)=(1;0)$