Chủ đề này có 1 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

Cho dãy $\left \{ x_{n} \right \}$ xác định bởi

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=2014 & & \\ x_{n+1}=x_{n}+\frac{n}{x_{n}} & & \end{matrix}\right.$

Dãy $\left \{ y_{n} \right \}$ được xác định bởi $y_{n}=\frac{x_{n}}{n}$

Tìm giới hạn của dãy $\left \{ y_{n} \right \}$

[banhgaongonngon]

Cho dãy $\left \{ x_{n} \right \}$ xác định bởi

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=2014 & & \\ x_{n+1}=x_{n}+\frac{n}{x_{n}} & & \end{matrix}\right.$

Dãy $\left \{ y_{n} \right \}$ được xác định bởi $y_{n}=\frac{x_{n}}{n}$

Tìm giới hạn của dãy $\left \{ y_{n} \right \}$

 

Quy nạp theo $n$ ta được $x_{n}\geq n,\forall n\in \mathbb{N}*$

 

Do đó

$x_{n}=x_{n-1}+\frac{n-1}{x_{n-1}}\leq x_{n-1}+1\leq ...\leq x_{1}+(n-1)$

 

Dẫn đến $1\leq \frac{x_{n}}{n}\leq 1+ \frac{x_{1}-1}{n}$

 

Sử dụng nguyên lí kẹp ta được

$\boxed{\underset{n\rightarrow +\propto }{\lim}y_{n}=\underset{n\rightarrow +\propto }{\lim}\frac{x_{n}}{n}=1}$