Chủ đề này có 2 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+15abc$$

Bài 2:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=2.Chứng minh rằng :$$\sqrt{x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x}+\sqrt{xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}}\leq 2$$

[lahantaithe99]

Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+15abc$$

 

Theo bđt S.Chur

 

$a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$

 

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+5abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc$

 

$=(a+b)(b+c)(c+a)$

 

$\Rightarrow 3(a^3+b^3+c^3+5abc)\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$

 

$\Rightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$

 

$=(a+b+c)^3=8$

[Hoang Tung 126]

Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+15abc$$

Bài 2:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=2.Chứng minh rằng :$$\sqrt{x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x}+\sqrt{xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}}\leq 2$$

Bài 2: Theo Cauchy-Swtach có: $\sqrt{x^3y+y^3z+z^3x}+\sqrt{xy^3+yz^3+zx^3}\leq \sqrt{2(xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+xz(x^2+z^2))}$

 Do đó ta cần CM :$xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+xz(x^2+z^2)\leq 2$

Mặt khác theo bđt $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$

Ta có:$xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+xz(x^2+z^2)\leq (x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)=\frac{(x^2+y^2+z^2)(2xy+2yz+2xz)}{2}\leq \frac{(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)^2}{8}=\frac{(x+y+z)^4}{8}=\frac{2^4}{8}=2$(ĐPCM)

Đẳng thức xảy ra khi $x=0,y=z=1$