Đến nội dung


Hình ảnh

$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 ongngua97

ongngua97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:volleyball.

Đã gửi 09-03-2014 - 11:05

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :

$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Trong đó a là số thực cho trước.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 09-03-2014 - 11:07

ONG NGỰA 97. :wub: 


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1958 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 15-07-2018 - 16:17

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :

$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Trong đó a là số thực cho trước.

Để khỏi nhầm lẫn hàm và biến, xin sửa lại đề như sau :

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn

$f(3u-v+a)=3f(u)-f(v),\forall u,v\in \mathbb{R}$ (1)

Trong đó $a$ là số thực cho trước.

 

GIẢI :

Thay $u$ bằng $u+\alpha$, thay $v$ bằng $v+3\alpha$, với $\alpha$ là số thực tùy ý khác $0$, ta được :

$f(3u-v+a)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha )$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $3f(u)-f(v)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha ),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 3[f(u+\alpha )-f(u)]=f(v+3\alpha )-f(v),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$ ($\alpha \neq 0$)

$\Leftrightarrow \lim_{\alpha \to0}\frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\lim_{\alpha \to0}\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow f'(u)=f'(v)=A,\forall u,v\in \mathbb{R}$ ($A$ là hằng số)

$\Leftrightarrow f(x)$ có dạng $Ax+B$

Cho $u=v=-a\Rightarrow f(-a)=2f(-a)\Rightarrow f(-a)=0$

Xét 2 trường hợp :

1) $a=0\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)

2) $a\neq 0$ :

   Đặt $f(0)=p\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{f(0)-f(-a)}{0-(-a)}=\frac{p}{a}\\B=f(0)=p \end{matrix}\right.$

   $\Rightarrow f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)

Thử lại đều thấy thỏa mãn điều kiện đề bài.

  

Kết luận :

+ Nếu $a=0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)

+ Nếu $a\neq 0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-07-2018 - 16:44

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-07-2018 - 17:06

Để khỏi nhầm lẫn hàm và biến, xin sửa lại đề như sau :

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn

$f(3u-v+a)=3f(u)-f(v),\forall u,v\in \mathbb{R}$ (1)

Trong đó $a$ là số thực cho trước.

 

GIẢI :

Thay $u$ bằng $u+\alpha$, thay $v$ bằng $v+3\alpha$, với $\alpha$ là số thực tùy ý khác $0$, ta được :

$f(3u-v+a)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha )$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $3f(u)-f(v)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha ),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 3[f(u+\alpha )-f(u)]=f(v+3\alpha )-f(v),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$ ($\alpha \neq 0$)

$\Leftrightarrow \lim_{\alpha \to0}\frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\lim_{\alpha \to0}\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow f'(u)=f'(v)=A,\forall u,v\in \mathbb{R}$ ($A$ là hằng số)

$\Leftrightarrow f(x)$ có dạng $Ax+B$

Cho $u=v=-a\Rightarrow f(-a)=2f(-a)\Rightarrow f(-a)=0$

Xét 2 trường hợp :

1) $a=0\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)

2) $a\neq 0$ :

   Đặt $f(0)=p\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{f(0)-f(-a)}{0-(-a)}=\frac{p}{a}\\B=f(0)=p \end{matrix}\right.$

   $\Rightarrow f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)

Thử lại đều thấy thỏa mãn điều kiện đề bài.

  

Kết luận :

+ Nếu $a=0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)

+ Nếu $a\neq 0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)

Bạn làm đúng rồi. +10 điểm PSW


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh