Chủ đề này có 1 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Ch đường thẳng AC,K là trung điểm AC,B và D di động  và đối xứng qua K.Phân giác góc BCD cắt AB,AD ở I,J.M và A là giao điểm 2 đường tròn (ABD) và (AIJ).CMR: M thuộc 1 đường tròn cố định.

[Zaraki]

Ch đường thẳng AC,K là trung điểm AC,B và D di động  và đối xứng qua K.Phân giác góc BCD cắt AB,AD ở I,J.M và A là giao điểm 2 đường tròn (ABD) và (AIJ).CMR: M thuộc 1 đường tròn cố định.

Lời giải.

Vì $CI$ phân giác $\angle BCD$ nên $\angle BCI= \angle BIC= \angle ICD= \angle DJC$.

Từ $A$ kẻ đường thẳng song song với $BD$ cắt $(ABD)$ tại $M'$. Ta suy ra $AM'BD$ là hình thang cân nên $BM'=AD=BC=BI$. Do đó $\triangle BIM'$ cân tại $B$. 

 

Vì $\angle AJI= \angle AIJ$ nên $\triangle AJI$ cân tại $A$ suy ra $AJ=AI=AB-BI=AB-AD$ dẫn đến $AJ+AD=AB$ hay $DJ=AB$. Cũng vì $AM'BD$ là hình thang cân nên $DM'=AB$. Vậy $DM'=DJ$ suy ra $\triangle DM'J$ cân tại $D$.

 

Ta có $\angle M'BA= \angle M'DA$ và hai tam giác $M'BI$ và $M'DJ$ cân nên $\angle BIM'= \angle DJM'$. Mà $\angle BIM'+ \angle  M'IA=180^{\circ}$ nên $\angle DJM'+ \angle M'IA=180^{\circ}$. Vậy tứ giác $AJM'I$ nội tiếp hay $M' \in (AJI)$.

Như vậy $M'= (AJI) \cap (ABD)$ nên $M' \equiv M$. Ta có $AM \parallel BD$.

 

Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của $(AJI)$ và $(ABD)$. Ta có $OK \perp BD, OO' \perp AM$ nên $KO \perp AM$. Từ đó dẫn đến $K$ thuộc trung trực của $AM$ hay $AK=KM= \frac{AC}{2}$.

Vậy $M$ luôn thuộc đường tròn tâm $K$ bán kính $KA$. $\blacksquare$