Chủ đề này có 3 trả lời

[HoangHungChelski]

1. Cho $a,b,c\geq 1$. CMR: $\sum \frac{1}{1+a}\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}$

2. Cho $a,b> 0$. CM $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\geq 5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

[Trang Luong]

1) Ta chứng minh BĐT phụ với $x,y\geq 1$:

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}(\sqrt{xy}-1)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}\geq 0$

Ta có:

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{2}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{1+\sqrt{b^{2}}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{ab^{3}}}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+a}\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 12-03-2014 - 19:56

[phuocdinh1999]

2. Cho $a,b> 0$. CM $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\geq 5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

$VT-VP=\left ( \frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}-\frac{2}{b} \right )+\left ( \frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}-\frac{2}{a} \right )-4\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b} \right )=\frac{(a-b)^2}{ab^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2b}-\frac{4(a-b)^2}{ab(a+b)}=(a-b)^2.\left [ \frac{a(a+b)+b(a+b)-4ab}{a^2b^2(a+b)} \right ]=\frac{(a-b)^4}{a^2b^2(a+b)}\geq 0\Rightarrow VT\geq VP$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b$

[cucuong567]

Câu 2:

 

Hình gửi kèm

•