Chủ đề này có 5 trả lời

[smush06]

Cho x, y, z >0. Tìm giá trị lớn nhất của
$\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}$

 

@Viet Hoang 99: Chú ý tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-03-2014 - 17:46

[lahantaithe99]

Cho x, y, z >0. Tìm giá trị lớn nhất của
$\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}$

 

Đặt $M=\sum \frac{x}{2x+y}\Rightarrow 2M=\sum \frac{2x}{2x+y}$

 

$=\sum (1-\frac{y}{2x+y})=3-\sum \frac{y}{2x+y}$

 

Áp dụng bđt BCS

 

$\sum \frac{y}{2x+y}=\sum \frac{y^2}{2xy+y^2}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$

 

$\Rightarrow 2M\leqslant 3-1=2\Rightarrow M\leqslant 1$

 

Vậy min $M=1$

[smush06]

Áp dụng BCS như thế nào hả anh. Anh viết rõ hơn được không ạ ?

[smush06]

Đặt $M=\sum \frac{x}{2x+y}\Rightarrow 2M=\sum \frac{2x}{2x+y}$
 
$=\sum (1-\frac{y}{2x+y})=3-\sum \frac{y}{2x+y}$
 
Áp dụng bđt BCS
 
$\sum \frac{y}{2x+y}=\sum \frac{y^2}{2xy+y^2}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$
 
$\Rightarrow 2M\leqslant 3-1=2\Rightarrow M\leqslant 1$
 
Vậy min $M=1$

Áp dung BCS như thế nào hả anh? Anh viết rõ hơn được không ạ ?

[lahantaithe99]

Áp dung BCS như thế nào hả anh? Anh viết rõ hơn được không ạ ?

Đây nhé

BĐT BCS dạng cộng mẫu như sau

$\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+\frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^2}{b_{n}}\geqslant \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}$

Áp dụng vào bài toán

 

$\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}=\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{z^2}{2yz+z^2}+\frac{x^2}{2zx+x^2}$

 

$\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{2xy+y^2+2zy+z^2+2xz+x^2}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+x)^2}=1$ 

[smush06]

Đây nhé
BĐT BCS dạng cộng mẫu như sau
$\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+\frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^2}{b_{n}}\geqslant \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}$
Áp dụng vào bài toán

$\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}=\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{z^2}{2yz+z^2}+\frac{x^2}{2zx+x^2}$

$\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{2xy+y^2+2zy+z^2+2xz+x^2}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+x)^2}=1$

Đây nhé
BĐT BCS dạng cộng mẫu như sau
$\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+\frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^2}{b_{n}}\geqslant \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}$
Áp dụng vào bài toán

$\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}=\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{z^2}{2yz+z^2}+\frac{x^2}{2zx+x^2}$

$\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{2xy+y^2+2zy+z^2+2xz+x^2}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+x)^2}=1$

Cảm ơn anh ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi smush06: 17-03-2014 - 18:01