Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-03-2014 - 11:03
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}$
Bắt đầu bởi henry0905, 17-03-2014 - 23:12
#2
Đã gửi 18-03-2014 - 05:54
buitudong1998
-
- Thành viên
-
- 873 Bài viết
Trung úy
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}$
Ta có: $VT-VP=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{a+b}{c+a}-\frac{b+c}{a+b}-\frac{c+a}{b+c}=\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}-\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{ab}{c^{2}}-3)$
Mà: $\sum \frac{ab}{c^{2}}\geqslant 3$ (Cauchy)
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\geqslant \frac{1}{3}(\sum \frac{a}{b})^{2}\geqslant \sum \frac{a}{b}$
Vậy BĐT được CM
Đứng dậy và bước tiếp
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
