1. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$
2. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $s=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$
3. Cho $a,b,c>1$. CMR: $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$
4.Cho $a,b,c>0$. CMR $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$
5. Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. CMR $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt{3}$
1) Đề hình như phải là tìm min bạn ạ
$2P=\sum \frac{2}{2x+y+z}=\sum \frac{2(x+y+z)}{2x+y+z}=3+\sum \frac{y+z}{2x+y+z}$
$\sum \frac{y+z}{2x+y+z}=\sum \frac{(y+z)^2}{(y+z)(2x+y+z)}\geqslant \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+2(xy+yz+xz)}$
(áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu)
Lại có
$2(xy+yz+xz)\leqslant \frac{2(x+y+z)^2}{3}$
$\Rightarrow 2P\geqslant 3+\frac{3(x+y+z)^2}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\geqslant \frac{9}{4}$
2
$S=\sum \frac{x}{x+1}=\sum (1-\frac{1}{x+1})=3-\sum \frac{1}{x+1}$
Có $\sum \frac{1}{x+1}\geqslant \frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}$
$\Rightarrow S\leqslant 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$
4)
Áp dụng BCS cộng mẫu
$\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}$
Mà $ab+bc+ac\leqslant a^2+b^2+c^2\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b}\geqslant \sum ab$
5) Cũng áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu
$P=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{3}{3xy}\geqslant \frac{(1+\sqrt{3})^2}{(x+y)^2}=4+\sqrt{3}$
3
Áp dụng bđt Cô si
$\frac{4a^2}{a-1}+16(a-1)\geqslant 16a$
$\frac{5b^2}{b-1}+20(b-1)\geqslant 20b$
$\frac{3c^2}{c-1}+12(c-1)\geqslant 12c$
Cộng theo vế và rút gọn ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-03-2014 - 20:08