Chủ đề này có 11 trả lời

[lethanhson2703]

1. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

 

2. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $s=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

3. Cho $a,b,c>1$. CMR: $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

 

4.Cho $a,b,c>0$. CMR $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

 

5. Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. CMR $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt{3}$

 

[lahantaithe99]

1. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

 

2. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $s=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

3. Cho $a,b,c>1$. CMR: $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

 

4.Cho $a,b,c>0$. CMR $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

 

5. Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. CMR $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt{3}$

1) Đề hình như phải là tìm min bạn ạ

 

$2P=\sum \frac{2}{2x+y+z}=\sum \frac{2(x+y+z)}{2x+y+z}=3+\sum \frac{y+z}{2x+y+z}$

 

$\sum \frac{y+z}{2x+y+z}=\sum \frac{(y+z)^2}{(y+z)(2x+y+z)}\geqslant \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+2(xy+yz+xz)}$

 

(áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu)

 

Lại có

 

$2(xy+yz+xz)\leqslant \frac{2(x+y+z)^2}{3}$

 

$\Rightarrow 2P\geqslant 3+\frac{3(x+y+z)^2}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\geqslant \frac{9}{4}$

2

 

$S=\sum \frac{x}{x+1}=\sum (1-\frac{1}{x+1})=3-\sum \frac{1}{x+1}$

 

Có $\sum \frac{1}{x+1}\geqslant \frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}$

 

$\Rightarrow S\leqslant 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$

4)

 

Áp dụng BCS cộng mẫu

 

$\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}$

 

Mà $ab+bc+ac\leqslant a^2+b^2+c^2\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b}\geqslant \sum ab$

5) Cũng áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu 

 

$P=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{3}{3xy}\geqslant \frac{(1+\sqrt{3})^2}{(x+y)^2}=4+\sqrt{3}$

3

Áp dụng bđt Cô si

 

$\frac{4a^2}{a-1}+16(a-1)\geqslant 16a$

 

$\frac{5b^2}{b-1}+20(b-1)\geqslant 20b$

 

$\frac{3c^2}{c-1}+12(c-1)\geqslant 12c$

Cộng theo vế và rút gọn ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-03-2014 - 20:08

[lethanhson2703]

1) Đề hình như phải là tìm min bạn ạ

 

$2P=\sum \frac{2}{2x+y+z}=\sum \frac{2(x+y+z)}{2x+y+z}=3+\sum \frac{y+z}{2x+y+z}$

 

$\sum \frac{y+z}{2x+y+z}=\sum \frac{(y+z)^2}{(y+z)(2x+y+z)}\geqslant \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+2(xy+yz+xz)}$

 

(áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu)

 

Lại có

 

$2(xy+yz+xz)\leqslant \frac{2(x+y+z)^2}{3}$

 

$\Rightarrow 2P\geqslant 3+\frac{3(x+y+z)^2}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\geqslant \frac{9}{4}$

2

 

$S=\sum \frac{x}{x+1}=\sum (1-\frac{1}{x+1})=3-\sum \frac{1}{x+1}$

 

Có $\sum \frac{1}{x+1}\geqslant \frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}$

 

$\Rightarrow S\leqslant 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$

4)

 

Áp dụng BCS cộng mẫu

 

$\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}$

 

Mà $ab+bc+ac\leqslant a^2+b^2+c^2\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b}\geqslant \sum ab$

5) Cũng áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu 

 

$P=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{3}{3xy}\geqslant \frac{(1+\sqrt{3})^2}{(x+y)^2}=4+\sqrt{3}$

3

Áp dụng bđt Cô si

 

$\frac{4a^2}{a-1}+16(a-1)\geqslant 16a$

 

$\frac{5b^2}{b-1}+20(b-1)\geqslant 20b$

 

$\frac{3c^2}{c-1}+12(c-1)\geqslant 12c$

Cộng theo vế và rút gọn ta có đpcm

Giúp mình thêm câu 6 và câu 3 nha:

6. Cho $x,y>0$ và $x+y\geq 4.$. Tính GTNN $A=\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}$

[lahantaithe99]

Giúp mình thêm câu 6 và câu 3 nha:

6. Cho $x,y>0$ và $x+y\geq 4.$. Tính GTNN $A=\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}$

Câu 3 làm rồi kìa bạn

[lahantaithe99]

Giúp mình thêm câu 6 và câu 3 nha:

6. Cho $x,y>0$ và $x+y\geq 4.$. Tính GTNN $A=\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}$

6)

 

$A=\frac{3x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^2}+y$

 

Áp dụng bđt Cô si

 

$\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geqslant 1$

 

$\frac{2}{y^2}+\frac{y}{4}+\frac{y}{4}\geqslant \frac{3}{2}$

 

$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{x+y}{2}\geqslant 2$

 

Cộng theo từng vế thi $A\geqslant \frac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-03-2014 - 20:27

[angleofdarkness]

1) Đề hình như phải là tìm min bạn ạ

 

$2P=\sum \frac{2}{2x+y+z}=\sum \frac{2(x+y+z)}{2x+y+z}=3+\sum \frac{y+z}{2x+y+z}$

 

$\sum \frac{y+z}{2x+y+z}=\sum \frac{(y+z)^2}{(y+z)(2x+y+z)}\geqslant \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+2(xy+yz+xz)}$

 

(áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu)

 

Lại có

 

$2(xy+yz+xz)\leqslant \frac{2(x+y+z)^2}{3}$

 

$\Rightarrow 2P\geqslant 3+\frac{3(x+y+z)^2}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\geqslant \frac{9}{4}$

 

 

Cũng là Schwarz nhưng thế này có nhanh hơn không:

 

$P=\sum \dfrac{1}{2x+y+z}=\sum \dfrac{1}{1+x} \geq \dfrac{9}{\sum (1+x)}=\dfrac{9}{4}$

[lahantaithe99]

Cũng là Schwarz nhưng thế này có nhanh hơn không:

 

$P=\sum \dfrac{1}{2x+y+z}=\sum \dfrac{1}{1+x} \geq \dfrac{9}{\sum (1+x)}=\dfrac{9}{4}$

Ờ quên mất lại đi làm dài dòng quá trong khi câu 1, 2 cách almf như nhau

[lethanhson2703]

Ờ quên mất lại đi làm dài dòng quá trong khi câu 1, 2 cách almf như nhau

câu 1 mình sai đề giúp mình tìm max P nếu $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

[lahantaithe99]

câu 1 mình sai đề giúp mình tìm max P nếu $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Áp dụng bđt S.Vac ngược

 

Ta có

 

$\frac{1}{2x+y+z}\leqslant \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

 

Thiết lập tương tự vs các phân thức còn lại thì

 

$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leqslant \frac{1}{16}(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z})=1$

[lethanhson2703]

Áp dụng bđt S.Vac ngược

 

Ta có

 

$\frac{1}{2x+y+z}\leqslant \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

 

Thiết lập tương tự vs các phân thức còn lại thì

 

$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leqslant \frac{1}{16}(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z})=1$

Giải giúp mình bất phương trình này nha 

 $\left | 1-\left | x \right | \right |<a-x$ với a là tham số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhson2703: 22-03-2014 - 19:51

[lahantaithe99]

Giải giúp mình bất phương trình này nha 

 $\left | 1-\left | x \right | \right |<a-x$ với a là tham số

$x>0$

[lethanhson2703]

bạn lm ra đi

 

$x>0$