Chủ đề này có 3 trả lời

[buitudong1998]

Tìm tất cả các đa thức P(x) khác 0, hệ số là các số thực không âm, có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2007 và thỏa mãn các điều kiện sau: $P(X)P(\frac{1}{x})\leqslant (P(1))^{2}\forall x\in (0,+\infty )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 22-03-2014 - 20:21

[supermember]

Bài này sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski thôi . Không có gì đặc biệt.

[phamxuanvinh08101997]

Bài này sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski thôi . Không có gì đặc biệt.

Anh cho em xin lời giải cụ thể với ạ

[phamxuanvinh08101997]

Tìm tất cả các đa thức P(x) khác 0, hệ số là các số thực không âm, có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2007 và thỏa mãn các điều kiện sau: $P(X)P(\frac{1}{x})\leqslant (P(1))^{2}\forall x\in (0,+\infty )$

Gọi đa thức cần tìm là \[P\left( x \right) = {a_n}{x^n} + ... + {a_0},\deg \left( P \right) \le 2007\] .Theo đề bài ra ta có \[{a_i} \ge 0,\forall i = 0,1,...,n\] .Với mọi x>0 áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-schwar ta có \[P\left( x \right)P\left( {\frac{1}{x}} \right) = \left( {{a_n}{x^n} + ... + {a_0}} \right)\left( {{a_n}{x^{ - n}} + ... + {a_0}} \right) \ge {\left( {{a_n} + ... + {a_0}} \right)^2} = {\left( {P\left( 1 \right)} \right)^2}\] Kết hợp với gt ta có \[P\left( x \right)P\left( {\frac{1}{x}} \right) = {\left( {P\left( 1 \right)} \right)^2} \Rightarrow P\left( x \right) = {a_n}{x^n}\]