3 replies to this topic

[Mirror282]

Cho các số dương x , y , z . Chứng minh bất đẳng thức :

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2$

Edited by Mirror282, 23-03-2014 - 16:08.

[lahantaithe99]

Cho các số dương x , y , z . Chứng minh bất đẳng thức :

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2$

Ta có

 

Áp dụng Cô si

 

$\sqrt{\frac{y+z}{x}}=\sqrt{\frac{y+z}{x}.1}\leqslant \frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{x}$

 

$\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}}\geqslant .\frac{2x}{x+y+z}$

 

Thiết lập tương tự vs các phân thức còn lại đc

 

$\sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}\geqslant 2$

 

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x+y+z=0$ (cái này vô lý nên ko xảy ra dấu $=$

Edited by lahantaithe99, 23-03-2014 - 16:13.

[Mirror282]

đề chính xác đấy chú

[shinichikudo201]

Cho các số dương x , y , z . Chứng minh bất đẳng thức :

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2$

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}= \frac{x}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \frac{x}{\frac{x+y+z}{2}}= \frac{2x}{x+y+z}$

Chứng minh tương tự rồi cộng các BĐT cùng chiều:

$\sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2(x+y+z)}{x+y+z}= 2$

Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow$$x=y=z=0$ (trái với giả thiết). Vậy

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2$ (đpcm)

Edited by shinichikudo201, 24-03-2014 - 20:06.