Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$\sum \frac{x^2-yz}{x^2-yz+2013}\geq 0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 24-03-2014 - 19:54

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=671$.CMR :

 $$\sum \frac{x^2-yz}{x^2-yz+2013}\geq 0$$



#2 ducbau007

ducbau007

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-05-2015 - 20:38

BĐT cần cm tương đương với  $\sum (\frac{2(x^{2}-yz)}{x^{2}-yz+2013}+1)\geq 3$

hay $\sum \frac{3(x^{2}-yz+671)}{x^{2}-yz+2013}=\sum \frac{3(x^{2}+xy+xz)}{x^{2}-yz+2013}\geq 3$ (vì xy + yz +zx = 671 )

$\Leftrightarrow \sum \frac{x(x+y+z)}{x^{2}-yz+2013}\geq 1$

$\Leftrightarrow (x+y+z)\sum \frac{x}{x^{2}-yz+2013}\geq 1$ (1)

Có theo BĐT CBS thì $\sum \frac{x}{x^{2}-yz+2013}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz+2013(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)(\sum x^{2}-xy-yz-zx)+2013(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)}{\sum x^{2}-xy-yz-zx+3(xy+yz+zx)}=\frac{1}{x+y+z}$

(vì xy + yz + zx = 671 )

Kết hợp với (1) suy ra dpcm

Dấu '=' mấy bác tự xử lí nhé  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducbau007: 12-05-2015 - 20:38





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh