Chủ đề này có 1 trả lời

[hoctrocuanewton]

cho a,b dương thoả mãn $(a+\sqrt{a^{2}+1})(b+\sqrt{b^{2}+1})=2014$ . Tìm Min của $P=a+b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 12-04-2014 - 11:09

[phuocdinh1999]

cho a,b dương thoả mãn $(a+\sqrt{a^{2}+1})(b+\sqrt{b^{2}+1})=2014$ . Tìm Min của P=x+y

$GT\Rightarrow \left ( a+\sqrt{a^2+1} \right )\left ( b+\sqrt{b^2+1} \right )\left ( b-\sqrt{b^2+1} \right )=2014\left ( b-\sqrt{b^2+1} \right )$

 

$\Leftrightarrow a+\sqrt{a^2+1}=2014\left ( \sqrt{b^2+1}-b \right )\Leftrightarrow a+2014b=-\sqrt{a^2+1}+2014\sqrt{b^2+1}$

 

Tương tự: $b+2014a=-\sqrt{b^2+1}+2014\sqrt{a^2+1}$

 

Cộng theo vế, ta được: $2015(a+b)=2013\left ( \sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1} \right )\geq 2013\sqrt{(a+b)^2+(1+1)^2}$

 

$\Rightarrow 2015^2(a+b)^2\geq 2013^2(a+b)^2+2013^2.4\Rightarrow a+b\geq \frac{2013}{\sqrt{2014}}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{2013}{2\sqrt{2014}}$