Chủ đề này có 3 trả lời

[phatsp]

cho $x_{1}=1$
$x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2x_{n}+2} - \sqrt{x_{n}^{2}+2x_{n}+2}$.
Tìm $lim{x_{n}}$
Nghe bảo là sử dụng tọa độ, mà không biết làm thế nào?

[Ispectorgadget]

cho $x_{1}=1$
$x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2x_{n}+2} - \sqrt{x_{n}^{2}+2x_{n}+2}$.
Tìm $lim{x_{n}}$
Nghe bảo là sử dụng tọa độ, mà không biết làm thế nào?

Có vẻ như chép sai đề :v sửa lại như vầy

Cho $x_{1}=1$
$x_{n+1}=-\sqrt{x_{n}^{2}-2x_{n}+2} + \sqrt{x_{n}^{2}+2x_{n}+2}$.
Tìm $\lim{x_{n}}$

Giải

Bằng quy nạp ta chứng minh được $x_n>0;\forall n=1,2,...$

Ta có: $x_{n+1}=\frac{4x_n}{\sqrt{x_n^2-2x_n+2}+\sqrt{x_n^2+2x_n+2}}$

Áp dụng BĐT Minkowsky ta có $$x_{n+1}=\frac{4x_n}{\sqrt{x_n^2-2x_n+2}+\sqrt{x_n^2+2x_n+2}}=\frac{4x_n}{\sqrt{(x_n-1)^2+1}+\sqrt{(-1-x_n)^2+1}}\le \frac{4x_n}{4}=x_n$$

Suy ra $x_n>x_{n+1}$

Do đó $\{x_n\}$ là dãy giảm và bị chặn dưới nên hội tụ.

GIả sử $\lim x_n=a$ chuyển qua giới hạn ta có

$$a=\sqrt{a^2-2a+2}-\sqrt{a^2+2a+2}$$

$\Rightarrow a=0$

[tienthcsln]

cho $x_{1}=1$
$x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2x_{n}+2} - \sqrt{x_{n}^{2}+2x_{n}+2}$.
Tìm $lim{x_{n}}$
Nghe bảo là sử dụng tọa độ, mà không biết làm thế nào?

Ta c/m được $-2\leq x_{n}\leq 2 \forall n\geq 1$ (có thể dùng tọa độ như bạn nói: Đặt $A(x_{n};0), B(1;-1), C(-1;-1)$ thì $|x_{n+1}|=|AB-AC| \leq BC=2$)

Xét $f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}-\sqrt{x^2+2x+2}$ với $x\in [-2;2]$ thì $x_{n+1}=f(x_{n})$

Ta có:

$f'(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$

và $f''(x)=\frac{1}{x^2-2x+2}-\frac{1}{x^2+2x+2}=\frac{4x}{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

  - Với $x \in [-2;0)$, ta có: $f''(x) <0 \Rightarrow f'(x)\leq f'(-2)<0$

  - Với $x\in [0;2]$, ta có : $f''(x)\geq 0 \Rightarrow f'(x)\leq f'(2)<0$

Trong cả 2 trường hợp ta đều có $f'(x)<0$ nên $f(x)$ giảm trên đoạn [-2;2]

Từ đó, do $x_{3}=1,422... >x_{1} \Rightarrow f(3)<f(1) \Leftrightarrow x_{4}>x_{2}$, nên bằng quy nạp ta c/m được dãy $(x_{2k+1})$ tăng và dãy ($x_{2k}$) giảm (với $ k \in$ N^* ). Mặt khác do $x_{n}$ bị chặn nên 2 dãy con $x_{2k+1}$ và $x_{2k}$ cũng bị chặn nên tồn tại $limx_{2k}=a$ và $limx_{2k+1}=b$. Chuyển qua giới hạn, kết hợp với PT $f(x)=x$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất là $x=0$ trên đoạn [-2;2] nên $a=b=0$. 

Do đó: $lim x_{n} =0$.

[thukilop]

Bài này đề chắc sai rồi....Bài toán có ở đây:

http://diendantoanho...đhsp-2013-2014/