Chủ đề này có 3 trả lời

[Math Hero]

CMR : $\frac{bc}{a^{2}+2bc}+\frac{ca}{b^{2}+2ca}+\frac{ab}{c^{2}+2ab}\leq 1$ với $a,b,c> 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-04-2014 - 20:30

[buitudong1998]

CMR : $\frac{bc}{a^{2}+2bc}+\frac{ca}{b^{2}+2ca}+\frac{ab}{c^{2}+2ab}\leq 1$ với $a,b,c> 0$

Có: $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2bc}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\sum ab}=1\rightarrow 3-2VT\geqslant 1\rightarrow VT\leqslant 1(DPCM)$

[Viet Hoang 99]

Có: $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2bc}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\sum ab}=1\rightarrow 3-2VT\geqslant 1\rightarrow VT\leqslant 1(DPCM)$

Xin lỗi em nhầm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 16-08-2014 - 21:06

[KietLW9]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{1}{2+\frac{bc}{a^2}}+\frac{1}{2+\frac{ca}{b^2}}+\frac{1}{2+\frac{ab}{c^2}}\leqslant 1$

Đặt $(\frac{bc}{a^2},\frac{ca}{b^2},\frac{ab}{c^2})\rightarrow (x,y,z)$ thì xyz = 1 và ta cần chỉ ra rằng: $\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z}\leqslant 1\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx-4\geqslant 0\Leftrightarrow xy+yz+zx\geqslant 3$*đúng theo bất đẳng thức Cauchy*

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c