Chủ đề này có 1 trả lời

[Tran Trong Tien]

Cho $a,b,c > 0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng:

$81(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)$ $\leq$ $8(a+b+c)^{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 12-04-2014 - 11:07

[tap lam toan]

Solution:
Sử dụng điều kiện $abc=1$ viết lại bất đẳng thức dưới dạng đồng bậc
$$81\left ( a^{\frac{4}{3}}+(bc)^{\frac{2}{3}} \right )\left ( b^{\frac{4}{3}}+(ca)^{\frac{2}{3}} \right )\left ( c^{\frac{4}{3}}+(ab)^{\frac{2}{3}} \right )\leq 8\left ( a+b+c \right )^{4}$$
Do đó bỏ qua điều kiện $abc=1$ ta chuẩn hóa $a+b+c=3$ Ta sẽ chứng minh
$$\left ( a^{\frac{4}{3}}+(bc)^{\frac{2}{3}} \right )\left ( b^{\frac{4}{3}}+(ca)^{\frac{2}{3}} \right )\left ( c^{\frac{4}{3}}+(ab)^{\frac{2}{3}} \right ) \leq 8$$

$$VT\leq \left ( \frac{a^{\dfrac{4}{3}}+b^{\dfrac{4}{3}}+c^{\dfrac{4}{3}}+(ab)^{\dfrac{2}{3}}+(bc)^{\dfrac{2}{3}}+(ca)^{\dfrac{2}{3}}}{3} \right )^{3}\leq$$

$$\left ( \frac{\dfrac{a^{2}+2a}{3}+\dfrac{b^{2}+2b}{3}+\dfrac{c^{2}+2c}{3}+\dfrac{2ab+1}{3}+\dfrac{2bc+1}{3}+\dfrac{2ca+1}{3}}{3} \right )^{3}=$$

$$=\left ( \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+2\left ( a+b+c \right )+3}{9} \right )^{3}=8$$

Hoàn tất (Q.E.D). Ngoài ra còn 1 cách dồn biến bằng hàm số nhưng phức tạp và mình ko thích

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 16-06-2014 - 12:05