Chủ đề này có 4 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=3$. Tìm GTLN của: 
$P=x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}-\sqrt{xyz}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 06-04-2014 - 11:02

[lahantaithe99]

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=3$. Tìm GTNN của: 
$P=x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}-\sqrt{xyz}$

 

Hình như đề phải là tìm Max bạn ạ, min không có

 

Đặt $(x,y,z)=(a^2,...)$

 

Khi đó ta có $a^2+b^2+c^2=3$ và cần tìm max của $a^2b+b^2c+c^2a-abc$

 

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

 

$\Rightarrow c(b-c)(b-a)\leqslant 0\Leftrightarrow b^2c+c^2a\leqslant c^2b+abc$

 

Do đó $a^2b+b^2c+c^2a-abc\leqslant a^2b+c^2b+abc-abc=b(a^2+c^2)=b(3-b^2)=3b-b^3$

 

$\leqslant b^3+1+1-b^3=2$ (áp dụng BĐT Cô si)

 

Vậy Max $=2$

 

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$

[HoangHungChelski]

Hình như đề phải là tìm Max bạn ạ, min không có

 

Đặt $(x,y,z)=(a^2,...)$

 

Khi đó ta có $a^2+b^2+c^2=3$ và cần tìm max của $a^2b+b^2c+c^2a-abc$

 

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

 

$\Rightarrow c(b-c)(b-a)\leqslant 0\Leftrightarrow b^2c+c^2a\leqslant c^2b+abc$

 

Do đó $a^2b+b^2c+c^2a-abc\leqslant a^2b+c^2b+abc-abc=b(a^2+c^2)=b(3-b^2)=3b-b^3$

 

$\leqslant b^3+1+1-b^3=2$ (áp dụng BĐT Cô si)

 

Vậy Max $=2$

 

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$

mình tìm được thêm điều kiện để dấu bằng xảy ra, đó là $(x,y,z)=(1;0;\sqrt{2})$ và hoán vị.
sr vì sai đề. đã fix 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 06-04-2014 - 11:10

[lahantaithe99]

mình tìm được thêm điều kiện để dấu bằng xảy ra, đó là $(x,y,z)=(1;0;\sqrt{2})$ và hoán vị.
sr vì sai đề. đã fix 

Đề bài cho $x,y,z>0$ mà bạn 

[HoangHungChelski]

Đề bài cho $x,y,z>0$ mà bạn 

chết thật. hôm nay mình làm sao thế nhỉ?