1 reply to this topic

[buitudong1998]

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+f(y))-f(x)=(x+f(y))^{4}-x^{4}$

[Juliel]

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+f(y))-f(x)=(x+f(y))^{4}-x^{4}$

Nhận thấy hàm $f$ đồng nhất $0$ thỏa mãn. Gỉa sử $\exists a\in \mathbb{R}:f(a)\neq 0$

Khi đó trong $(1)$ ta cho $y=a$, ta được :

$$f(x+f(a))-f(x)=(x+f(a))^4-x^4,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Nhận thấy $\left ( x+f(a) \right )^4-x^4$ là một đa thức bậc ba theo $x$ nên tập giá trị của nó là $\mathbb{R}$.

Từ đó suy ra hàm $f(x+f(a))-f(x)$ toàn ánh. Do đó với mọi số thực $t$ luôn tồn tại số thực $u,v$ để :

$$t=f(u)-f(v)$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-f(y)$ :

$$ f(0)-f(-f(y))=(-f(y))^4,\;\forall y\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(-f(y))=-f^4(y)+f(0),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(2)$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-f(x)$ và chú ý kết quả $(2)$ :

$$f(f(y)-f(x))-f(-f(x))=(f(y)-f(x))^4+f^4(x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(f(y)-f(x))=(f(y)-f(x))^4+f(0),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(3)$$

Trong $(3)$ ta cho $x=u,y=v$ thay :

$$f(f(u)-f(v))=(f(u)-f(v))^4+f(0)\Leftrightarrow f(t)=t^4+f(0),\;\forall t\in \mathbb{R}$$

Hay là :

$$f(x)=x^4+a,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Thay vào $(1)$ tìm được $a=0$.

Vậy có hai hàm số thỏa mãn đề bài là :

$$f(x)=0,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(x)=x^4,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Edited by Juliel, 12-06-2014 - 22:45.