Chủ đề này có 1 trả lời

[duongluan1998]

Chứng minh 

$a^{a}b^{b}+3ab\leq 4$ với $a+b=2$ và $a,b$ không âm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 14-04-2014 - 16:03

[WhjteShadow]

Chứng minh 

$a^{a}b^{b}+3ab\leq 4$ với $a+b=2$ và $a,b$ không âm

ÁP dụng bất đẳng thức $AM-GM$ suy rộng ta có :

$$a^{\frac{a}{2}}b^{\frac{b}{2}}\leq \frac{a^2+b^2}{2}$$

Vậy ta cần chứng minh :

$$\frac{1}{4}(a^2+b^2)^2+3ab\leq 4$$

$$\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2+3ab(a+b)^2\leq (a+b)^4$$

$$\Leftrightarrow 3ab(a+b)^2\leq 4ab(a^2+b^2)+4a^2b^2$$

$$\Leftrightarrow 3(a+b)^2\leq 4(a^2+b^2)+4ab$$

$$\Leftrightarrow 0\leq (a-b)^2$$

$\square$