CMR
$(a^{2}+ab+bc)(b^{2}+bc+ac)(c^{2}+ac+ab)\geq (ab+ac+bc)^{3}$ với a,b,c không âm
CMR $(a^{2}+ab+bc)(b^{2}+bc+ac)(c^{2}+ac+ab)\geq (ab+ac+bc)^{3}$ với a,b,c không âm
2 Bình chọn
Bắt đầu bởi duongluan1998, 23-04-2014 - 11:05
#2
Đã gửi 15-06-2014 - 13:21
tap lam toan
-
- Thành viên
-
- 178 Bài viết
Trung sĩ
Solution:
Đặt $x^{3}=\frac{a}{b};y^{3}=\frac{b}{c};z^{3}=\frac{c}{a}$ thì $xyz=1$
Chia 2 vế cho $a^{2}b^{2}c^{2}$ viết lại bất đẳng thức dưới dạng
$$\left ( x^{3}+y^{3}+1 \right )\left ( y^{3}+z^{3}+1 \right )\left ( z^{3}+x^{3}+1 \right )\geq \left ( xy^{2}+yz^{2}+zx^{2} \right )^{3}$$
Theo bđt $Holder$ thì:
$$\left ( x^{3}+y^{3}+1 \right )\left ( y^{3}+z^{3}+1 \right )\left ( x^{3}+z^{3}+1 \right )\geq \left ( x^{2}y+yz^{2}+1 \right )^{3}$$
Ta chỉ cần chứng minh
$$x^{2}y+yz^{2}+1\geq xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}$$
$$\Leftrightarrow z\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\geq 0$$
Điều này hoàn toàn đúng khi ta giả sử $y$ nằm giữa $x$ và $z$ (Q.E.D)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 15-06-2014 - 14:22
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
