Chủ đề này có 2 trả lời

[Hermione Granger]

Cho $x, y, z$ là các số thực thoả mãn $xy + yz + zx =1 $. Tìm GTNN của :

 $P=10\left ( x^{2} + y^{2}\right ) + z^{2}$

[Johan Liebert]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

 

$8x^2+\dfrac{z^2}{2} \geq 4xz \\ 8y^2+\dfrac{z^2}{2} \geq 4yz \\ 2x^2+2y^2 \geq 4xy$

 

Cộng từng vế là ra

 

[lahantaithe99]

 

Cho $x, y, z$ là các số thực thoả mãn $xy + yz + zx =1 $. Tìm GTNN của :

 $P=10\left ( x^{2} + y^{2}\right ) + z^{2}$

 

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

$2x^2+2y^2\geqslant 4xy$$2x^2+2y^2\geqslant 4xy$

 

$8y^2+\frac{z^2}{2}\geqslant 4yz$

 

$8x^2+\frac{z^2}{2}\geqslant 4xz$

 

Cộng theo vế $\Rightarrow 10x^2+10y^2+z^2\geqslant 4(xy+yz+xz)=4$

 

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=y=\frac{1}{3} & \\ z=\frac{4}{3} & \end{matrix}\right.$