Chủ đề này có 10 trả lời

[Oral1020]

Cho x;y;z không âm,thoảvx+y+z=3.Chứng minh rằng :$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \ge 7 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 25-04-2014 - 22:46

[Trang Luong]

Cho x;y;z không âm,thoảvx+y+z=3.Chứng minh rằng :$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \ge 7 $

Ta có:

$(3-2x)(3-2y)(3-2z)\leq \frac{(9-2x-2y-2z)^{3}}{27}= 1$

$\Leftrightarrow 8xyz\geq -28+12(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow xyz\geq \frac{-14}{4}+\frac{3}{2}(xy+yz+zx)$

Ta có:

$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \geq \frac{5}{4}(x^{2}+y^{2}+z^{2})+\frac{3}{4}(x+y+z)^{2}-\frac{14}{4}\geq \frac{5}{12}(x+y+z)^{2}+\frac{3}{4}(x+y+z)^{2}-\frac{14}{4}= 7$

[Ham học toán hơn]

Cho x;y;z không âm,thoảvx+y+z=3.Chứng minh rằng :$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \ge 7 $

P/s: Có gì sai sót bạn cho ý kiến nha

$2(x^2+y^2+z^2)+xyz=\frac{2}{3}.3(x^2+y^2+z^2)+xyz\geq\frac{2}{3}(x+y+z)^2+xyz= 6+xyz $

Vì $x,y,z$ là các số không âm nên: $xyz\geq1$

Do đó : $6+xyz\geq7$

Vậy $2(x^2+y^2+z^2)+xyz\geq7$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=z=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ham học toán hơn: 25-04-2014 - 22:58

[Trang Luong]

P/s: Có gì sai sót bạn cho ý kiến nha

$2(x^2+y^2+z^2)+xyz=\frac{2}{3}.3(x^2+y^2+z^2)+xyz\geq\frac{2}{3}(x+y+z)^2+xyz= 6+xyz $

Vì $x,y,z$ là các số không âm nên: $xyz\geq1$

Do đó : $6+xyz\geq7$

Vậy $2(x^2+y^2+z^2)+xyz\geq7$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=z=1$.

$3=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow 1\geq xyz$

[Ham học toán hơn]

$3=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow 1\geq xyz$

Ôi sai mất rồi, đúng là buồn ngủ thì không làm gì cho đúng được..... chán !

P/s: bạn xem có cách nào chữa giúp cách của mình luôn nhé, nếu không được thì xóa bài mình giúp nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ham học toán hơn: 25-04-2014 - 23:05

[hoanganhhaha]

 

(3-2x)(3-2y)(3-2z)\leq \frac{(9-2x-2y-2z)^{3}}{27}= 1

 

 mình nghĩ là để sử dụng AM-GM thì 3 số phải dương....đâu có chắc là 3-2x,3-2y hay 3-2z dương ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanganhhaha: 02-05-2014 - 14:08

[HoangHungChelski]

Ta có:

$(3-2x)(3-2y)(3-2z)\leq \frac{(9-2x-2y-2z)^{3}}{27}= 1$

$\Leftrightarrow 8xyz\geq -28+12(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow xyz\geq \frac{-14}{4}+\frac{3}{2}(xy+yz+zx)$

Ta có:

$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \geq \frac{5}{4}(x^{2}+y^{2}+z^{2})+\frac{3}{4}(x+y+z)^{2}-\frac{14}{4}\geq \frac{5}{12}(x+y+z)^{2}+\frac{3}{4}(x+y+z)^{2}-\frac{14}{4}= 7$

đề bài đã cho $(3-2x),(3-2y),(3-2z)\geq 0$ đâu mà áp dụng Cauchy hả bạn?
Nếu mà biến đổi để ra đến dòng thứ ba thì phải áp dụng BĐT Schur:
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

[buitudong1998]

Cho x;y;z không âm,thoảvx+y+z=3.Chứng minh rằng :$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \ge 7 $

Giả sử: $(x-1)(y-1)\geqslant 0\rightarrow xyz\geqslant xz+yz-z\rightarrow VT\geqslant 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xz+yz-z\geqslant (x+y)^{2}+2z^{2}+z(x+y)-z=(3-z)^{2}+2z^{2}+z(3-z)-z=2z^{2}-4z+9=2(z-1)^{2}+7\geqslant 7(DPCM)$

[Binh Le]

Thêm một cách nữa 

BĐT cần cm $\Leftrightarrow 11+xyz-4(xy+yz+xz)\geq 0$

                    $\Leftrightarrow x(yz-4y-4z)+11-4yz$

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow x\in [1;3]$

Xét $f(x)=x(yz-4y-4z)+11-4yz$

Ta có $f(x)\geq$ min $\left \{ f(1);f(3) \right \}=$ min $\left \{ 0;11 \right \}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

.............................................................

P/s: Cách làm khá khó hiểu các bạn thắc mắc hãy tham khảo tài liệu này trước khi hỏi (2 Trang thui ) 

http://www.nxbgd.vn/...=1&ReportID=811

[hoanganhhaha]

bài của bạn LuongTrang từ dòng 3 theo Bdt Schur có thể dễ dàng  viết lại là : $9xyz\geq 12(xy+yz+zx)-27$

vậy nên $6(x^{2}+y^{2}+z^{2})+9xyz \geq 6(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx)-27=6(x+y+z)^{2}-27=6.9-27=27$ (1)

ta dễ dàng c/m được là $12(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 36$  (2)

cộng (1) và (2)  => 9.VT $\geq$ 63 (ĐCCM)

 

 

[Oral1020]

đề bài đã cho $(3-2x),(3-2y),(3-2z)\geq 0$ đâu mà áp dụng Cauchy hả bạn?71
Nếu mà biến đổi để ra đến dòng thứ ba thì phải áp dụng BĐT Schur:
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

 

 mình nghĩ là để sử dụng AM-GM thì 3 số phải dương....đâu có chắc là 3-2x,3-2y hay 3-2z dương ?

 bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng vì ta có BĐT sau đây:

$a^3+b^3+c^3 \ge 3abc$ với $a+b+c \ge 0$