Cho x;y;z không âm,thoảvx+y+z=3.Chứng minh rằng :$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \ge 7 $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 25-04-2014 - 22:46
Cho x;y;z không âm,thoảvx+y+z=3.Chứng minh rằng :$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \ge 7 $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 25-04-2014 - 22:46
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
Cho x;y;z không âm,thoảvx+y+z=3.Chứng minh rằng :$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \ge 7 $
Ta có:
$(3-2x)(3-2y)(3-2z)\leq \frac{(9-2x-2y-2z)^{3}}{27}= 1$
$\Leftrightarrow 8xyz\geq -28+12(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow xyz\geq \frac{-14}{4}+\frac{3}{2}(xy+yz+zx)$
Ta có:
$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \geq \frac{5}{4}(x^{2}+y^{2}+z^{2})+\frac{3}{4}(x+y+z)^{2}-\frac{14}{4}\geq \frac{5}{12}(x+y+z)^{2}+\frac{3}{4}(x+y+z)^{2}-\frac{14}{4}= 7$
Cho x;y;z không âm,thoảvx+y+z=3.Chứng minh rằng :$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \ge 7 $
P/s: Có gì sai sót bạn cho ý kiến nha
$2(x^2+y^2+z^2)+xyz=\frac{2}{3}.3(x^2+y^2+z^2)+xyz\geq\frac{2}{3}(x+y+z)^2+xyz= 6+xyz $
Vì $x,y,z$ là các số không âm nên: $xyz\geq1$
Do đó : $6+xyz\geq7$
Vậy $2(x^2+y^2+z^2)+xyz\geq7$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=z=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ham học toán hơn: 25-04-2014 - 22:58
P/s: Có gì sai sót bạn cho ý kiến nha
$2(x^2+y^2+z^2)+xyz=\frac{2}{3}.3(x^2+y^2+z^2)+xyz\geq\frac{2}{3}(x+y+z)^2+xyz= 6+xyz $
Vì $x,y,z$ là các số không âm nên: $xyz\geq1$
Do đó : $6+xyz\geq7$
Vậy $2(x^2+y^2+z^2)+xyz\geq7$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=z=1$.
$3=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow 1\geq xyz$
$3=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow 1\geq xyz$
Ôi sai mất rồi, đúng là buồn ngủ thì không làm gì cho đúng được..... chán !
P/s: bạn xem có cách nào chữa giúp cách của mình luôn nhé, nếu không được thì xóa bài mình giúp nhé !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ham học toán hơn: 25-04-2014 - 23:05
(3-2x)(3-2y)(3-2z)\leq \frac{(9-2x-2y-2z)^{3}}{27}= 1
mình nghĩ là để sử dụng AM-GM thì 3 số phải dương....đâu có chắc là 3-2x,3-2y hay 3-2z dương ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanganhhaha: 02-05-2014 - 14:08
Ta có:
$(3-2x)(3-2y)(3-2z)\leq \frac{(9-2x-2y-2z)^{3}}{27}= 1$
$\Leftrightarrow 8xyz\geq -28+12(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow xyz\geq \frac{-14}{4}+\frac{3}{2}(xy+yz+zx)$
Ta có:
$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \geq \frac{5}{4}(x^{2}+y^{2}+z^{2})+\frac{3}{4}(x+y+z)^{2}-\frac{14}{4}\geq \frac{5}{12}(x+y+z)^{2}+\frac{3}{4}(x+y+z)^{2}-\frac{14}{4}= 7$
đề bài đã cho $(3-2x),(3-2y),(3-2z)\geq 0$ đâu mà áp dụng Cauchy hả bạn?
Nếu mà biến đổi để ra đến dòng thứ ba thì phải áp dụng BĐT Schur:
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
Cho x;y;z không âm,thoảvx+y+z=3.Chứng minh rằng :$2(x^2+y^2+z^2)+xyz \ge 7 $
Giả sử: $(x-1)(y-1)\geqslant 0\rightarrow xyz\geqslant xz+yz-z\rightarrow VT\geqslant 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xz+yz-z\geqslant (x+y)^{2}+2z^{2}+z(x+y)-z=(3-z)^{2}+2z^{2}+z(3-z)-z=2z^{2}-4z+9=2(z-1)^{2}+7\geqslant 7(DPCM)$
Thêm một cách nữa
BĐT cần cm $\Leftrightarrow 11+xyz-4(xy+yz+xz)\geq 0$
$\Leftrightarrow x(yz-4y-4z)+11-4yz$
Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow x\in [1;3]$
Xét $f(x)=x(yz-4y-4z)+11-4yz$
Ta có $f(x)\geq$ min $\left \{ f(1);f(3) \right \}=$ min $\left \{ 0;11 \right \}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$
.............................................................
P/s: Cách làm khá khó hiểu các bạn thắc mắc hãy tham khảo tài liệu này trước khi hỏi (2 Trang thui )
http://www.nxbgd.vn/...=1&ReportID=811
๖ۣۜI will try my best ๖ۣۜ
bài của bạn LuongTrang từ dòng 3 theo Bdt Schur có thể dễ dàng viết lại là : $9xyz\geq 12(xy+yz+zx)-27$
vậy nên $6(x^{2}+y^{2}+z^{2})+9xyz \geq 6(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx)-27=6(x+y+z)^{2}-27=6.9-27=27$ (1)
ta dễ dàng c/m được là $12(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 36$ (2)
cộng (1) và (2) => 9.VT $\geq$ 63 (ĐCCM)
đề bài đã cho $(3-2x),(3-2y),(3-2z)\geq 0$ đâu mà áp dụng Cauchy hả bạn?71
Nếu mà biến đổi để ra đến dòng thứ ba thì phải áp dụng BĐT Schur:
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
mình nghĩ là để sử dụng AM-GM thì 3 số phải dương....đâu có chắc là 3-2x,3-2y hay 3-2z dương ?
bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng vì ta có BĐT sau đây:
$a^3+b^3+c^3 \ge 3abc$ với $a+b+c \ge 0$
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh