Chủ đề này có 3 trả lời

[hoctrocuaZel]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: abc=1.

CMR:

T=$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

[Chris yang]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: abc=1.

CMR:

T=$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng bđt Cô-si ta có

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq \frac{1}{a}=bc$

Tương tự với các số còn lại

$\Rightarrow T+\frac{ab+bc+ac}{2}\geq ab+bc+ac\Rightarrow T\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}$

[datcoi961999]

Cách khác này

$T=\sum \frac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)}=\sum \frac{b^2c^2}{ab+ac}$

Áp dụng Cauchy schwarz dạng phân thức thì $\sum \frac{b^2c^2}{ab+ac}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2ab+2bc+2ca}=\frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}(Cauchy)$

[KietLW9]

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ rồi dùng Chebyshev