Chủ đề này có 4 trả lời

[Yagami Raito]

Cho a,b là các số dương thoả mãn $a^9+b^9=2$

Chứng minh bằng 2 cách $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\geq 2$

(Michael Rozenberg)

[Trang Luong]

 

Cho a,b là các số dương thoả mãn $a^9+b^9=2$

Chứng minh bằng 2 cách $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\geq 2$

(Michael Rozenberg)

 

Ta cm BĐT : $a^3+b^3\geq 2ab$ hay $\left ( a^3+b^3 \right )^3\geq 8a^3b^3\Rightarrow 3\left ( a^3+b^3 \right )^4\geq 8.3a^3b^3\left ( a^3+b^3 \right )=8\left [ \left ( a^3+b^3 \right )^3-\left ( a^9+b^9 \right ) \right ]=8\left [ \left ( a^3+b^3 \right )^3-2 \right ]\Rightarrow \left ( a^3+b^3 \right )^3+16\geq 8\left ( a^3+b^3 \right )$ luôn đúng (theo BĐT AM-GM)

Dấu = xảy ra khi $a=b=1$

[davidsilva98]

 

Cho a,b là các số dương thoả mãn $a^9+b^9=2$

Chứng minh bằng 2 cách $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\geq 2$

(Michael Rozenberg)

 

 

Ta có: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}=\frac{a^{18}}{a^{16}b}+\frac{b^{18}}{ab^{16}}\geq \frac{(a^{9}+b^{9})^{2}}{a^{16}b+ab^{16}}=\frac{4}{a^{16}b+ab^{16}}$

Ta cần chứng minh: $a^{16}b+ab^{16}\leq 2$

Áp dụng bđt AM-GM cho 17 số ta có:

    $a^{9}+a^{9}+...+a^{9}+b^{9}\geq 17a^{16}b$ (16 số $a^{9}$)

    $b^{9}+b^{9}+...+b^{9}+a^{9}\geq 17ab^{16}$ (16 số $b^{9}$)

 Suy ra $a^{16}b+ab^{16}\leq a^{9}+b^{9}=2$

Vậy dấu bằng xảy ra khi a=b=1

[lahantaithe99]

Ta có: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}=\frac{a^{18}}{a^{16}b}+\frac{b^{18}}{ab^{16}}\geq \frac{(a^{9}+b^{9})^{2}}{a^{16}b+ab^{16}}=\frac{4}{a^{16}b+ab^{16}}$

Ta cần chứng minh: $a^{16}b+ab^{16}\leq 2$

Áp dụng bđt AM-GM cho 17 số ta có:

    $a^{9}+a^{9}+...+a^{9}+b^{9}\geq 17a^{16}b$ (16 số $a^{9}$)

    $b^{9}+b^{9}+...+b^{9}+a^{9}\geq 17ab^{16}$ (16 số $b^{9}$)

 Suy ra $a^{16}b+ab^{16}\leq a^{9}+b^{9}=2$

Vậy dấu bằng xảy ra khi a=b=1

Ơ hình như chỗ áp dụng $AM-GM$ này có vấn đề !!!!

[Silent Night]

Ta có: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}=\frac{a^{18}}{a^{16}b}+\frac{b^{18}}{ab^{16}}\geq \frac{(a^{9}+b^{9})^{2}}{a^{16}b+ab^{16}}=\frac{4}{a^{16}b+ab^{16}}$

Ta cần chứng minh: $a^{16}b+ab^{16}\leq 2$

Áp dụng bđt AM-GM cho 17 số ta có:

    $a^{9}+a^{9}+...+a^{9}+b^{9}\geq 17a^{16}b$ (16 số $a^{9}$)

    $b^{9}+b^{9}+...+b^{9}+a^{9}\geq 17ab^{16}$ (16 số $b^{9}$)

 Suy ra $a^{16}b+ab^{16}\leq a^{9}+b^{9}=2$

Vậy dấu bằng xảy ra khi a=b=1

Chỗ này còn căn mà bạn.