Chủ đề này có 3 trả lời

[Kir]

Cho x,y,z là các số thực không âm phân biệt. CMR:

$\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{z+x}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$

[WhjteShadow]

Cho x,y,z là các số thực không âm phân biệt. CMR:

$\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{z+x}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Đặt $f(x;y;z)=(x+y+z)\left(\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{x+z}{(x-z)^2}\right)$.

Không mất tính tổng quát giả sử $z=min\{x;y;z\}$

Ta sẽ chứng minh $f(x;y;z)\geq f(x-z;y-z;0)$

$$\Leftrightarrow (x+y+z)\left(\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2}\right)\geq (x+y-2z)\left(\frac{x+y-2z}{(x-y)^2}+\frac{y-z}{(y-z)^2}+\frac{x-z}{(z-x)^2}\right)$$

Thật vậy điều này đúng do $x+y+z\geq x+y-2z$ và $$\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2}\geq \frac{x+y-2z}{(x-y)^2}+\frac{y-z}{(y-z)^2}+\frac{x-z}{(z-x)^2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{2z}{(x-y)^2}+\frac{2z}{(y-z)^2}+\frac{2z}{(x-z)^2}\geq 0\,\,\,\,\text{(Luôn đúng)}$$

Vậy tóm lại $f(x;y;z)\geq f(x-z;y-z;0)$ hay ta chỉ cần chứng minh bất đăng thức trong trường hợp $z=0$ :

Tương đương : 

$$\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{9}{x+y}$$

$$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2}{(x-y)^2}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq 7$$

$$\Leftrightarrow \frac{4xy}{(x-y)^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\geq 6$$

$$\Leftrightarrow \frac{4xy}{(x-y)^2}+\frac{(x-y)^2}{xy}\geq 4$$

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM. Ta có điều phải chứng minh $\square$

[Kir]

Đặt $f(x;y;z)=(x+y+z)\left(\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{x+z}{(x-z)^2}\right)$.

Không mất tính tổng quát giả sử $z=min\{x;y;z\}$

Ta sẽ chứng minh $f(x;y;z)\geq f(x-z;y-z;0)$

$$\Leftrightarrow (x+y+z)\left(\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2}\right)\geq (x+y-2z)\left(\frac{x+y-2z}{(x-y)^2}+\frac{y-z}{(y-z)^2}+\frac{x-z}{(z-x)^2}\right)$$

Thật vậy điều này đúng do $x+y+z\geq x+y-2z$ và $$\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2}\geq \frac{x+y-2z}{(x-y)^2}+\frac{y-z}{(y-z)^2}+\frac{x-z}{(z-x)^2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{2z}{(x-y)^2}+\frac{2z}{(y-z)^2}+\frac{2z}{(x-z)^2}\geq 0\,\,\,\,\text{(Luôn đúng)}$$

Vậy tóm lại $f(x;y;z)\geq f(x-z;y-z;0)$ hay ta chỉ cần chứng minh bất đăng thức trong trường hợp $z=0$ :

Tương đương : 

$$\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{9}{x+y}$$

$$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2}{(x-y)^2}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq 7$$

$$\Leftrightarrow \frac{4xy}{(x-y)^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\geq 6$$

$$\Leftrightarrow \frac{4xy}{(x-y)^2}+\frac{(x-y)^2}{xy}\geq 4$$

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM. Ta có điều phải chứng minh $\square$

 

Bác có cách nào chứng minh bất đẳng thức theo kiểu phổ thông hơn đc không? Em chưa có hiểu phần dồn biến cho lắm

[Ispectorgadget]

Cho x,y,z là các số thực không âm phân biệt. CMR:

$\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{z+x}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$

 

 

Bác có cách nào chứng minh bất đẳng thức theo kiểu phổ thông hơn đc không? Em chưa có hiểu phần dồn biến cho lắm

Có thể dùng pp tham số hóa (Buffalo Way) :3 bản chất thì nó cũng giống như cách trên

Giả sử $z=\min\{x;y;z\}$

Đặt $x=z+a;y=z+b (a,b\ge 0)$

 

Ta cần chứng minh $(x+y+z)\left(\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{x+z}{(x-z)^2}\right)\ge 9$

 

 Ta có: $$\frac{a+b+2z}{(a-b)^2}+\frac{b+2z}{b^2}+\frac{a+2z}{a^2}\ge\frac{a+b}{(a-b)^2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$$

$x+y+z=3z+a+b\ge a+b$

Do đó cần chứng minh: $$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\ge 7$$

$$\Leftrightarrow \frac{4ab}{(a-b)^2}+\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 4$$

Điều này đúng theo AM-GM nên ta có điều cần chứng minh. $\square$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-05-2014 - 12:41