Chủ đề này có 1 trả lời

[lovemathforever99]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR

 

$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$

 

 

 

 

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR

 

$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$

Áp dụng AM-GM ta có 

          $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{9}{2a+b}$

$\Rightarrow a^2+2ab\geqslant \frac{9a^2b}{2a+b}$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại ta được 

          $\Rightarrow (a+b+c)^2\geqslant \frac{9a^2b}{2a+b}+\frac{9b^2c}{2b+c}+\frac{9c^2a}{2c+a}$

          $\Rightarrow \frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}\leqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$