Chủ đề này có 1 trả lời

[lovemathforever99]

1) Cho $a,b,c$ là các số thực. CMR:

 

$(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$

 

2) CMR với mọi $a,b,c$ dương luôn có:

 

$\sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^{2}+2c^{2}}{b^{2}+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2a^{2}}{c^{2}+ca+ab}}\geq 3$

[phuocdinh1999]

1) Cho $a,b,c$ là các số thực. CMR:

 

$(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$

 

2) CMR với mọi $a,b,c$ dương luôn có:

 

$\sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^{2}+2c^{2}}{b^{2}+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2a^{2}}{c^{2}+ca+ab}}\geq 3$

 

1)$TH1:$ Trong $3$ số $(a^2+b^2-c^2);(b^2+c^2-a^2);(c^2+a^2-b^2)$ có 1 số $<0$ thì $VT>0>VP$

 

$TH2:$ $3$ số $(a^2+b^2-c^2);(b^2+c^2-a^2);(c^2+a^2-b^2)>0$

 

Ta CM: $(a+b-c)^2(a-b+c)^2\geq (a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)$         $\Leftrightarrow (b-c)^2(b^2+c^2-a^2)\geq 0$ (đúng)

 

Lập $2$ BĐT tương tự  rôi nhân vào ta có đpcm

 

 

2)Áp dụng AM-GM: 

$\sum \sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{\prod (a^2+2b^2)}{\prod (a^2+ab+bc)}}(1)$

 

Áp dụng CBS:

$(a^2+b^2+b^2)(c^2+b^2+c^2)\geq (ac+b^2+bc)^2\Leftrightarrow (a^2+2b^2)(b^2+2c^2)\geq (b^2+bc+ca)^2$

 

Lập $2$ BĐT tương tự rồi nhân vào: $\prod (a^2+2b^2)\geq \prod (a^2+ab+bc)(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $VT\geq 3$ (ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 09-05-2014 - 14:22