Chủ đề này có 8 trả lời

[hoctrocuaZel]

CHo x,y là những số tự nhiên, x+y=2014.

Tìm Min, Max: $M=x.(x^2+y)+y(y^2+x)$

[NMDuc98]

CHo x,y là những số tự nhiên, x+y=2014.

Tìm Min, Max: $M=x.(x^2+y)+y(y^2+x)$

Ta có:

$M=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=2014^3-6042xy+2xy=2014^3-6040xy$

Ta lại có:

$(x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{2014^2}{4}$

Do $x,y$ là các số tự nhiên nên $xy\geq 1$

Vậy ta có:

$1\le xy \le \frac{2014^2}{4}\\\Rightarrow -6040\geq -6040xy\geq -1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\geq 2014^3-6040xy\geq 2014^3-1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\ge M \ge 2014^3-1510.2014^2$

Bận bịu quá!Làm gấp nên khg chắc!Bạn tự tìm dấu bằng nhé!

[huythcsminhtan]

sai thì thôi bạn nhá . Áp dụng liên hoàn bất đẳng thức cauchy và bunhia có :

 

$M=x(x^2+y)+y(y^2+x)=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy=2014(x^2+y^2)-2012xy \ge 2014(x^2+y^2)-1006(x^2+y^2)=1008(x^2+y^2) \ge 504(x+y)^2=2044322784$

[Nguyen Tang Sy]

biến đổi:

$ M = x^{3} + y^{3} + 2xy = (x+y)^{3} -3xy(x+y) + 2xy = 2014^{3} -6040xy$

Tìm min:

để M $min$ thì $xy$ phải $max$. ta có $xy \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$

do đó min $M = 2014^{3} - \frac{6040.2014^{2}}{4}$

Tìm $max$:

M đạt max thì $xy$ phải $min$

giả sử xy đạt min . ta sẽ chứng  2 số $x,y$ không  đồng thời lớn hơn 1

thật vậy, giả sử $ y \geq x \geq 2$

ta chọn 2 số $x - 1$ và $y+1$  (vì nó có tổng bằng 2014) 

ta có  $(x-1)(y+1) > 0$ và $xy - (x-1)(y+1) = y-x + 1 > 0$

tức là ta tìm đc tích mới nhỏ hơn tích xy , trái với $xy$ min. 

vậy phải có 1 số = 1 và số còn lại bằng 2013

khi đó min $xy$ = 2013

và max $M = 2014^{3}- 6040*2013 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tang Sy: 13-05-2014 - 08:32

[Nguyen Tang Sy]

Ta có:

$M=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=2014^3-6042xy+2xy=2014^3-6040xy$

Ta lại có:

$(x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{2014^2}{4}$

Do $x,y$ là các số tự nhiên nên $xy\geq 1$

Vậy ta có:

$1\le xy \le \frac{2014^2}{4}\\\Rightarrow -6040\geq -6040xy\geq -1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\geq 2014^3-6040xy\geq 2014^3-1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\ge M \ge 2014^3-1510.2014^2$

Bận bịu quá!Làm gấp nên khg chắc!Bạn tự tìm dấu bằng nhé!

sai rồi bạn!! $x + y = 2014$ mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tang Sy: 13-05-2014 - 08:12

[huythcsminhtan]

biến đổi:

$ M = x^{3} + y^{3} + 2xy = (x+y)^{3} -3xy(x+y) + 2xy = 2014^{3} -6040xy$

Tìm min:

để M min thì xy phải max. ta có $xy \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$

do đó min $M = 2014^{3} - \frac{2014^{2}}{4}$

Tìm max:

M đạt max thì xy phải min

giả sử xy đạt min . ta sẽ chứng  2 số x,y không  đồng thời lớn hơn 1

thật vậy, giả sử $ y \geq x \geq 2$

ta có  $(x-1)(y+1) > 0$ và $xy - (x-1)(y+1) = y-x + 1 > 0$

tức là ta tìm đc tích mới nhỏ hơn tích xy , trái với xy min. 

vậy phải có 1 số = 1 và số còn lại bằng 2013

khi đó min xy = 2013

và max $M = 2014^{3}- 6040*2013 $

 bác bỏ 6040 làm cảnh à 

[Nguyen Tang Sy]

 bác bỏ 6040 làm cảnh à 

tks bác!! để em sửa. 

[lahantaithe99]

CHo x,y là những số tự nhiên, x+y=2014.

Tìm Min, Max: $M=x.(x^2+y)+y(y^2+x)$

 

Mình làm thế này. Sai thì thôi mọi người chỉ bảo 

 

Ta có $M=2014^3-6040xy$

 

Theo BĐT $AM-GM$ thì $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}=1014049$

 

Do đó $Min(M)=2014^3-1014049=8168164695$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1007$

 

Vi $x,y\in \mathbb{N}\Rightarrow xy\geqslant 0\Rightarrow Max(M)=2014^3$

 

Đẳng thức xảy ra tại bộ $(x;y)=(0;2014)$ và hoán vị 

[hoctrocuaZel]

Mình làm thế này. Sai thì thôi mọi người chỉ bảo 

 

Ta có $M=2014^3-6040xy$

 

Theo BĐT $AM-GM$ thì $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}=1014049$

 

Do đó $Min(M)=2014^3-1014049=8168164695$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1007$

 

Vi $x,y\in \mathbb{N}\Rightarrow xy\geqslant 0\Rightarrow Max(M)=2014^3$

 

Đẳng thức xảy ra tại bộ $(x;y)=(0;2014)$ và hoán vị 

À, đề thiếu tí, x,y thuộc n sao chứ ghi rứa thì dễ!