$a;b;c>0$
Cmr: $\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}\leq \frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$
$\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}\leq \frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$
Bắt đầu bởi Viet Hoang 99, 17-05-2014 - 22:56
#1
Đã gửi 17-05-2014 - 22:56
Viet Hoang 99
-
- Điều hành viên THPT
-
- 2291 Bài viết
$\textbf{Trương Việt Hoàng}$
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#2
Đã gửi 18-05-2014 - 00:07
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
$a;b;c>0$
Cmr: $\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}\leq \frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$
Giải:
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa $a+b+c=12$.
Khi đó, BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}\leq 6$
Ta chứng minh BĐT phụ sau:
$\frac{3a}{3+a}\leq \frac{3+a}{4}\Leftrightarrow -(a-3)^2\leq 0$ (luôn đúng)
$\frac{4b}{4+b}\leq \frac{4+b}{4}\Leftrightarrow -(b-4)^2\leq 0$ (luôn đúng)
$\frac{5c}{5+c}\leq \frac{5+c}{4}\Leftrightarrow -(c-5)^2\leq 0$ (luôn đúng)
Cộng vế các BĐT trên lại ta được đpcm
Dấu "=" khi và chỉ khi $a=3;b=4;c=5$.
P/s: Không biết có đúng không, buồn ngủ quá...!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 18-05-2014 - 00:07
- canhhoang30011999, lovemathforever99 và Viet Hoang 99 thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#3
Đã gửi 18-05-2014 - 09:58
nguyentrungphuc26041999
-
- Thành viên
-
- 406 Bài viết
Sĩ quan
Giải:
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa $a+b+c=12$.
Khi đó, BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}\leq 6$
Ta chứng minh BĐT phụ sau:
$\frac{3a}{3+a}\leq \frac{3+a}{4}\Leftrightarrow -(a-3)^2\leq 0$ (luôn đúng)
$\frac{4b}{4+b}\leq \frac{4+b}{4}\Leftrightarrow -(b-4)^2\leq 0$ (luôn đúng)
$\frac{5c}{5+c}\leq \frac{5+c}{4}\Leftrightarrow -(c-5)^2\leq 0$ (luôn đúng)
Cộng vế các BĐT trên lại ta được đpcm
Dấu "=" khi và chỉ khi $a=3;b=4;c=5$.
P/s: Không biết có đúng không, buồn ngủ quá...!
hình như là không được phép chuẩn hoá vì nó chưa thuần nhất
#4
Đã gửi 18-05-2014 - 10:12
ducbau007
-
- Thành viên
-
- 120 Bài viết
Trung sĩ
BDT tương đương với
$3-\frac{3a}{a+3}+4-\frac{4b}{b+4}+5-\frac{5}{c+5}\geq 12-\frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$
hay $\frac{9}{a+3}+\frac{16}{b+4}+\frac{25}{c+5}\geq \frac{144}{12+a+b+c}$
bất đẳng thức này luôn đúng (theo BDT cauchy-schwarz )
các bạn tự xử lí dấu = 
- DarkBlood và Viet Hoang 99 thích
#5
Đã gửi 18-05-2014 - 21:32
hoanganhhaha
-
- Thành viên
-
- 131 Bài viết
Trung sĩ
hay là $a+3=x ; b+4=y; 5+c=z ; VT=\frac{3(x-3)}{x}+\frac{4(y-4)}{y}+\frac{5(z-5)}{y}=-\frac{9}{x}-\frac{16}{y}-\frac{25}{y}+12 ; VP= \frac{12(x+y+z-12)}{x+y+z}=12-\frac{144}{x+y+z}$
bất đẳng thức cần cm tương đương với $\frac{9}{x}+\frac{16}{y}+\frac{25}{z} \geq \frac{(3+4+5)^2}{x+y+z}$ cái này hiển nhiên vơi C-S
- DarkBlood và Viet Hoang 99 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
