Chủ đề này có 5 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$.
CMR: $\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\leqslant 3$
 

[trang91ht]

Ta có $(a-1)^{2}\geqslant 0\Rightarrow a^{2}-a+1\geqslant a$

tương tự $b^{2}-b+1\geqslant b$

 

________
Làm tiếp thế nào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-05-2014 - 17:19

[trang91ht]

Ta có $(a-1)^{2}\geqslant 0\Rightarrow a^{2}-a+1\geqslant a$

tương tự $b^{2}-b+1\geqslant b$

 

________
Làm tiếp thế nào?

mình nhầm dấu mà lỡ bấm gửi bài

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$.
CMR: $\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\leqslant 3$
 

BĐT $< = > \sum \frac{(2a-1)^2}{a^2-a+1}\geq 3$

Theo Cauchy-Swtach có:$\sum \frac{(2a-1)^2}{a^2-a+1}\geq \frac{(\sum (2a-1))^2}{\sum a^2-\sum a+3}\geq 3< = > (2\sum a-3)^2\geq 3\sum a^2-3\sum a+9< = > 4(\sum a)^2-12\sum a\geq 3\sum a^2-3\sum a< = > \sum a^2+8\sum ab\geq 9\sum a$

Mà $8\sum ab\geq 8\sqrt{abc\sum a}=8\sqrt{\sum a}$

Do đó cần CM :$(\sum a)^2+6\sqrt{\sum a}\geq 9\sum a< = >$

[buiminhhieu]

BĐT $< = > \sum \frac{(2a-1)^2}{a^2-a+1}\geq 3$

Theo Cauchy-Swtach có:$\sum \frac{(2a-1)^2}{a^2-a+1}\geq \frac{(\sum (2a-1))^2}{\sum a^2-\sum a+3}\geq 3< = > (2\sum a-3)^2\geq 3\sum a^2-3\sum a+9< = > 4(\sum a)^2-12\sum a\geq 3\sum a^2-3\sum a< = > \sum a^2+8\sum ab\geq 9\sum a$

Mà $8\sum ab\geq 8\sqrt{abc\sum a}=8\sqrt{\sum a}$

Do đó cần CM :$(\sum a)^2+6\sqrt{\sum a}\geq 9\sum a< = >$,...

Chỗ này hơi lạ

phải là $\sum \frac{2a^{2}-2a+1}{a^{2}-a+1}\geq 3$ chứ em làm ra thế

Còn chỗ cuối làm thế nào hả anh?

[HoangHungChelski]

Chỗ này hơi lạ

phải là $\sum \frac{2a^{2}-2a+1}{a^{2}-a+1}\geq 3$ chứ em làm ra thế

Còn chỗ cuối làm thế nào hả anh?

ý anh Hoang Tung là thế này: 
$\Leftrightarrow \sum \frac{3}{a^2-a+1}\leq 9\Leftrightarrow ...$
Còn chỗ cuối thì tương đương thì ra 1 BĐT luôn đúng