Chủ đề này có 1 trả lời

[DISNEY JUNIOR]

cho $a+\frac{1}{a}$ là số nguyên

chứng minh rằng  $a^{n}+\frac{1}{a^{n}}$ là số nguyên

 

Chú ý: Gõ tiếng Việt có dấu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DISNEY JUNIOR: 20-05-2014 - 12:17

[Robben98]

Cho $a+\frac{1}{a}$ là số nguyên

Chứng minh rằng  $a^{n}+\frac{1}{a^{n}}$ là số nguyên

 

Bài này chứng minh bằng phương pháp quy nạp

 

Đặt $P_{n}=a^{n}+\frac{1}{a^{n}}$

Bước 1: $n=1=>P_{1}=a+\frac{1}{a}\in Z$

Bước 2: $n=2=>P_{2}=a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=(a+\frac{1}{a})^{2}-2\in Z$

Bước 3: Giả sử $n=k$ thì $P_{k}=a^{k}+\frac{1}{a^{k}}\in Z$

Bước 4: Ta cần chứng minh $n=k+1$ ta có $P_{k+1}=a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}\in Z$

Thật vậy: $P_{k+1}=a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}=(a+\frac{1}{a})(a^{k}+\frac{1}{a^{k}})-(a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}})=P_{1}.P_{k}-P_{k-1}\in Z$

Vậy: $P_{n}=a^{n}+\frac{1}{a^{n}}\in Z$