Chủ đề này có 1 trả lời

[thuan192]

Tìm các hàm $f:Q\rightarrow R$ thỏa:

           $f\left ( f\left ( x \right )+y \right )=x+f\left ( y \right ),\forall x,y\in Q$

[shinichigl]

Tìm các hàm $f:Q\rightarrow R$ thỏa:

           $f\left ( f\left ( x \right )+y \right )=x+f\left ( y \right ),\forall x,y\in Q$

Mình đưa ra lời giải nhưng chưa biết đúng hay sai, mong các bạn nhận xét

Cho $x=y=0$: $f(f(0))=f(0)$  $\Rightarrow f(0)\in \mathbb{Q}$ (do $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ )

Đặt $f(0)=a$, ta có: $f(a)=a \Rightarrow f(f(a))=a$

Cho $x=a$, $y=0$: $f(f(a))=2a$

Từ đó ta suy ra $a=0$ hay $f(0)=0$

Cho $y=0$: $f(f(x))=x$, $\forall x\in \mathbb{Q}$  $\Rightarrow f(x)\in \mathbb{Q}$ (do $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ )

Từ đây ta cũng suy ra được hàm $f$ là một hàm đơn ánh

Thay $f(y)$ bởi $y$: $f(f(x)+f(y))=x+y$,  $\forall x,y\in \mathbb{Q}$

Mà ta lại có: $f(f(x+y))=x+y$, $\forall x,y\in \mathbb{Q}$

Suy ra: $f(f(x)+f(y))=f(f(x+y))$  $\Rightarrow f(x)+f(y)=f(x+y)$ (do $f$ đơn ánh),  $\forall x,y\in \mathbb{Q}$

Dễ thấy $f$ cộng tính nên $f(x)=kx$ ($k\in \mathbb{Q}$), $\forall x\in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow f(f(x))=k^2x$, $\forall x\in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow k=\pm 1$

Thử lại, ta được hai hàm số cấn tìm là $f(x)=x$, $\forall x\in \mathbb{Q}$ hoặc $f(x)=-x$, $\forall x\in \mathbb{Q}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 20-05-2014 - 23:08