Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0 và abc + a + b = 3ab. CMR $\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ca+c+1}}\geq \sqrt{3}$

[Hoang Tung 126]

Cho a, b, c > 0 và abc + a + b = 3ab. CMR $\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ca+c+1}}\geq \sqrt{3}$

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,c=z= > x+y+z=3$

Ta có:$P=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}}}+\frac{1}{\sqrt{c+\frac{c}{b}+\frac{1}{b}}}+\frac{1}{\sqrt{c+\frac{c}{a}+\frac{1}{a}}}=\frac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\frac{1}{\sqrt{x+z+xz}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{x+y+xz}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(2\sum x+\sum xy)}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(3+\frac{(\sum x)^2}{3})}}=\frac{9}{\sqrt{3(3+3)}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 28-05-2014 - 10:01

[Dam Uoc Mo]

Cho a, b, c > 0 và abc + a + b = 3ab. CMR $\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ca+c+1}}\geq \sqrt{3}$

$GT\Leftrightarrow c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3,\frac{1}{a}=x>0,\frac{1}{b}=y>0\Rightarrow c+x+y=3.$

BĐT $\sqrt{\frac{1}{x+y+xy}}+\sqrt{\frac{1}{y+a+ay}}+\sqrt{\frac{1}{x+a+ax}}\geq \sqrt{3}.$

CM này:

$VT\geq 3\sqrt[6]{\frac{1}{(x+y+xy)(x+a+ax)(a+y+ay)}}\geq \sqrt{3}\Leftrightarrow (x+y+xy)(x+a+ax)(a+y+ay)\leq \frac{1}{27}$

Điều này luôn đúng vì bạn chỉ cần áp dụng 2 bđt phụ sau là đc.

$mnp\leq (\frac{m+n+p}{3})^{3},mn+np+mp\leq \frac{(m+n+p)^{2}}{3}.$

[Mikhail Leptchinski]

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,c=z= > x+y+z=3$

Ta có:$P=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}}}+\frac{1}{\sqrt{c+\frac{c}{b}+\frac{1}{b}}}+\frac{1}{\sqrt{c+\frac{c}{a}+\frac{1}{a}}}=\frac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\frac{1}{\sqrt{x+z+xz}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{x+y+xz}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(2\sum x+\sum xy)}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(3+\frac{(\sum x)^2}{3})}}=\frac{9}{\sqrt{3(3+3)}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài làm có vấn đề rồi anh ơi