Cho a, b, c > 0 và abc + a + b = 3ab. CMR $\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ca+c+1}}\geq \sqrt{3}$
CMR $\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ca+c+1}}\geq \sqrt{3}$
#1
Đã gửi 28-05-2014 - 09:53
#2
Đã gửi 28-05-2014 - 10:00
Cho a, b, c > 0 và abc + a + b = 3ab. CMR $\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ca+c+1}}\geq \sqrt{3}$
Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,c=z= > x+y+z=3$
Ta có:$P=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}}}+\frac{1}{\sqrt{c+\frac{c}{b}+\frac{1}{b}}}+\frac{1}{\sqrt{c+\frac{c}{a}+\frac{1}{a}}}=\frac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\frac{1}{\sqrt{x+z+xz}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{x+y+xz}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(2\sum x+\sum xy)}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(3+\frac{(\sum x)^2}{3})}}=\frac{9}{\sqrt{3(3+3)}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 28-05-2014 - 10:01
- Dam Uoc Mo yêu thích
#3
Đã gửi 28-05-2014 - 10:01
Cho a, b, c > 0 và abc + a + b = 3ab. CMR $\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ca+c+1}}\geq \sqrt{3}$
$GT\Leftrightarrow c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3,\frac{1}{a}=x>0,\frac{1}{b}=y>0\Rightarrow c+x+y=3.$
BĐT $\sqrt{\frac{1}{x+y+xy}}+\sqrt{\frac{1}{y+a+ay}}+\sqrt{\frac{1}{x+a+ax}}\geq \sqrt{3}.$
CM này:
$VT\geq 3\sqrt[6]{\frac{1}{(x+y+xy)(x+a+ax)(a+y+ay)}}\geq \sqrt{3}\Leftrightarrow (x+y+xy)(x+a+ax)(a+y+ay)\leq \frac{1}{27}$
Điều này luôn đúng vì bạn chỉ cần áp dụng 2 bđt phụ sau là đc.
$mnp\leq (\frac{m+n+p}{3})^{3},mn+np+mp\leq \frac{(m+n+p)^{2}}{3}.$
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
#4
Đã gửi 28-05-2014 - 10:26
Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,c=z= > x+y+z=3$
Ta có:$P=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}}}+\frac{1}{\sqrt{c+\frac{c}{b}+\frac{1}{b}}}+\frac{1}{\sqrt{c+\frac{c}{a}+\frac{1}{a}}}=\frac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\frac{1}{\sqrt{x+z+xz}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{x+y+xz}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(2\sum x+\sum xy)}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(3+\frac{(\sum x)^2}{3})}}=\frac{9}{\sqrt{3(3+3)}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài làm có vấn đề rồi anh ơi
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéTại đây
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh