Chủ đề này có 3 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Cho ba số thực sao cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1$ có nghiệm thực.Tìm bộ số $(a,b,c)$ mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

[luuvanthai]

Bài toán : Cho ba số thực sao cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1$ có nghiệm thực.Tìm bộ số $(a,b,c)$ mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0\Leftrightarrow x^{2}+ax+b+\frac{c}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow -(x+\frac{1}{x})^{2}+2=ax+b+\frac{c}{x}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1)}=\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})((x+\frac{1}{x})^{2}-1)}$

Đặt $x+\frac{1}{x}=a (a\geq 2 oặc a\leq -2)$.Khi đó 

$\sum a^{2}\geq \frac{(a^{2}-2)^{2}}{a^{2}-1}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow (a^{2}-4)(4a^{2}-3)\geq 0$

Luôn đúng với mọi $a\geq 2,a\leq -2$

[caybutbixanh]

Ta có $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0\Leftrightarrow x^{2}+ax+b+\frac{c}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow -(x+\frac{1}{x})^{2}+2=ax+b+\frac{c}{x}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1)}=\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})((x+\frac{1}{x})^{2}-1)}$

Đặt $x+\frac{1}{x}=a (a\geq 2 oặc a\leq -2)$.Khi đó 

$\sum a^{2}\geq \frac{(a^{2}-2)^{2}}{a^{2}-1}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow (a^{2}-4)(4a^{2}-3)\geq 0$

Luôn đúng với mọi $a\geq 2,a\leq -2$

Còn $b,c$ thì sao hả bạn ? Kết luận cuối cùng về bộ $(a,b,c)$ là như thế nào vậy ?

[Viet Hoang 99]

@@ Ẩn phụ bị trùng, mặt khác, biểu thức xanh kia không phải $Min=\frac{4}{3}$, vì

$(a^2-4)(4a^2-3)\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}|a|\geq 2  &  & \\ 1<a<\frac{2}{\sqrt{3}}  &  & \\ -\frac{2}{\sqrt{3}}\leq a<-1 \end{bmatrix}$

Có tới 2 khoảng không đúng với giả thiết $|a|\geq 2$

Ta có $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0\Leftrightarrow x^{2}+ax+b+\frac{c}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow -(x+\frac{1}{x})^{2}+2=ax+b+\frac{c}{x}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1)}=\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})((x+\frac{1}{x})^{2}-1)}$

Đặt $x+\frac{1}{x}=a (a\geq 2 oặc a\leq -2)$.Khi đó 

$\sum a^{2}\geq$ $\frac{(a^{2}-2)^{2}}{a^{2}-1}\geq \frac{4}{3}$ $\Leftrightarrow (a^{2}-4)(4a^{2}-3)\geq 0$

Luôn đúng với mọi $a\geq 2,a\leq -2$

Làm tới hết phần màu đỏ

Đặt $x+\frac{1}{x}=m$ với $|m|\geq 2$

Tìm Min của $A=\frac{(m^{2}-2)^{2}}{m^{2}-1}$ là xong. (chú ý $|m|\geq 2$)

Sau khi tìm được Min thì dấu = xảy ra khi $m=....$ suy ra được $x$

Tiếp đó dấu = của BĐT BCS:
$\frac{a}{x}=\frac{b}{1}=cx$

Từ $x$ ở bên trên tính được $a;b;c$

 

Hướng giải là vậy

--------------

 

Phần tìm Min dùng miền!

$Am^2-1=m^4-4m^2+4\Leftrightarrow m^4-(A+4)m^2+5=0$

$\Delta =(A+4)^2-20\geq 0$ ($\Delta $ ẩn $m^2$)

$\Leftrightarrow A\geq 2(\sqrt{5}-2)$ $(1)$

Pt phải có hai nghiệm không âm

Mặt khác phải có ĐK $m^2\geq 4$

Rắc rối ~~~~~~~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-05-2014 - 07:26