Bài toán : Cho ba số thực sao cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1$ có nghiệm thực.Tìm bộ số $(a,b,c)$ mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
$a^{2}+b^{2}+c^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
#1
Đã gửi 29-05-2014 - 22:21
- Viet Hoang 99 yêu thích
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
#2
Đã gửi 29-05-2014 - 23:13
Bài toán : Cho ba số thực sao cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1$ có nghiệm thực.Tìm bộ số $(a,b,c)$ mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0\Leftrightarrow x^{2}+ax+b+\frac{c}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow -(x+\frac{1}{x})^{2}+2=ax+b+\frac{c}{x}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1)}=\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})((x+\frac{1}{x})^{2}-1)}$
Đặt $x+\frac{1}{x}=a (a\geq 2 oặc a\leq -2)$.Khi đó
$\sum a^{2}\geq \frac{(a^{2}-2)^{2}}{a^{2}-1}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow (a^{2}-4)(4a^{2}-3)\geq 0$
Luôn đúng với mọi $a\geq 2,a\leq -2$
- caybutbixanh và Viet Hoang 99 thích
#3
Đã gửi 29-05-2014 - 23:36
Ta có $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0\Leftrightarrow x^{2}+ax+b+\frac{c}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow -(x+\frac{1}{x})^{2}+2=ax+b+\frac{c}{x}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1)}=\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})((x+\frac{1}{x})^{2}-1)}$
Đặt $x+\frac{1}{x}=a (a\geq 2 oặc a\leq -2)$.Khi đó
$\sum a^{2}\geq \frac{(a^{2}-2)^{2}}{a^{2}-1}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow (a^{2}-4)(4a^{2}-3)\geq 0$
Luôn đúng với mọi $a\geq 2,a\leq -2$
Còn $b,c$ thì sao hả bạn ? Kết luận cuối cùng về bộ $(a,b,c)$ là như thế nào vậy ?
- Viet Hoang 99 yêu thích
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
#4
Đã gửi 30-05-2014 - 07:17
@@ Ẩn phụ bị trùng, mặt khác, biểu thức xanh kia không phải $Min=\frac{4}{3}$, vì
$(a^2-4)(4a^2-3)\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}|a|\geq 2 & & \\ 1<a<\frac{2}{\sqrt{3}} & & \\ -\frac{2}{\sqrt{3}}\leq a<-1 \end{bmatrix}$
Có tới 2 khoảng không đúng với giả thiết $|a|\geq 2$
Ta có $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0\Leftrightarrow x^{2}+ax+b+\frac{c}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow -(x+\frac{1}{x})^{2}+2=ax+b+\frac{c}{x}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1)}=\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})((x+\frac{1}{x})^{2}-1)}$
Đặt $x+\frac{1}{x}=a (a\geq 2 oặc a\leq -2)$.Khi đó
$\sum a^{2}\geq$ $\frac{(a^{2}-2)^{2}}{a^{2}-1}\geq \frac{4}{3}$ $\Leftrightarrow (a^{2}-4)(4a^{2}-3)\geq 0$
Luôn đúng với mọi $a\geq 2,a\leq -2$
Làm tới hết phần màu đỏ
Đặt $x+\frac{1}{x}=m$ với $|m|\geq 2$
Tìm Min của $A=\frac{(m^{2}-2)^{2}}{m^{2}-1}$ là xong. (chú ý $|m|\geq 2$)
Sau khi tìm được Min thì dấu = xảy ra khi $m=....$ suy ra được $x$
Tiếp đó dấu = của BĐT BCS:
$\frac{a}{x}=\frac{b}{1}=cx$
Từ $x$ ở bên trên tính được $a;b;c$
Hướng giải là vậy
--------------
Phần tìm Min dùng miền!
$Am^2-1=m^4-4m^2+4\Leftrightarrow m^4-(A+4)m^2+5=0$
$\Delta =(A+4)^2-20\geq 0$ ($\Delta $ ẩn $m^2$)
$\Leftrightarrow A\geq 2(\sqrt{5}-2)$ $(1)$
Pt phải có hai nghiệm không âm
Mặt khác phải có ĐK $m^2\geq 4$
Rắc rối ~~~~~~~
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-05-2014 - 07:26
- caybutbixanh yêu thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh