Chủ đề này có 3 trả lời

[Minamoto Shizuka]

Cho hai dãy số $\left ( u_n \right ),\left ( v_n \right )$ xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix}
u_1,v_1\epsilon (0;1) & \\
 u_{n+1}=u_1(1-u_n-v_n)+u_n& \\
 v_{n+1}=v_1(1-u_n-v_n)+v_n&
\end{matrix}\right.$$

Chứng minh hai dãy hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

[supermember]

Bài này cần phải có kiến thức về hàm sinh,

Xét các dãy phụ, $ a_n = u_n + y_n ; b_n = u_n - v_n$

 

Giả sử chuỗi luỹ thừa hình thức  tương ứng của các dãy $(a _n ) $  và $(b _n ) $ là:

$ \mathcal {A} (x) = \sum_{n=1}^{ \infty}  a_n x^n ; \mathcal {B} (x) = \sum_{n=1}^{ \infty}  b_n x^n$  thì khi cộng $2$ đẳng thức đã cho vế theo vế ta có:

 

$ \mathcal {A} (x) = \sum_{n=1}^{ \infty}  a_n x^n = a_1 x + \sum_{n=1}^{ \infty} a_1 x^{n+1} ( 1 - a_n ) + \sum_{n=1}^{ \infty} x^{n+1}  a_n  = a_1 x + \frac{a_1 x^2}{ 1-x} -a_1  x \mathcal {A} (x) + x \mathcal {A} (x) =  \left( a_1 x + \frac{a_1 x^2}{ 1-x} \right)  -a_1  x \mathcal {A} (x) + x \mathcal {A} (x)  $

 

$ \implies \mathcal {A} (x) \left( 1+a_1 x  - x \right) = \frac{a_1 x}{1-x}$

 

$ \implies \mathcal {A} (x) \left( 1-(1-a_1) x \right) = \frac{a_1 x}{1-x}$

 

$ \implies \mathcal {A} (x) = \frac{a_1 x}{(1-x) \cdot \left( 1-(1-a_1) x \right)}$

 

Từ đây bằng cách so sánh hệ số $ x^n$ ở 2 vế, ta có: $ a_n = 1- (1-a_1)^n   (*)$

 

Tương tự, bằng cách trừ $2$ đẳng thức đã cho vế theo vế ta có:

 

$ \mathcal {B} (x) = \frac{ b_1 x}{ (1-x)^2} - \frac{b_1 x \mathcal {A} (x)}{ 1-x}$

 

Nên Từ đây bằng cách so sánh hệ số $ x^n$ ở 2 vế, ta có:

 

$ b_n = \frac{b_1 (1-a_1 )}{ a_1} \cdot \left(1-(1-a_1)^{n-1} \right)$ , với $ n \ge 2$

 

Để tính được cái này, cần phải chú ý đến khai triển quen thuộc $ \frac{ x}{ (1-x)^2} = \sum_{n=1}^{ \infty}  n x^n$ và công thức tính $ a_n$ ở $(*)$

 

Từ đây là tính ra giới hạn rồi, chú ý $ 0 \le | 1-a_1| < 1$, ta chỉ cần thay: $ u_n = (a_n + b_n)/2 ; v_n = (a_n - b_n)/2$

 

Kết quả tính ra: $ \lim u_n =\frac{1}{ 2 }+ \frac{b_1 (1-a_1 )}{ 2 a_1} = \frac{1}{ 2 }+ \frac{(u_1-v_1) (1-u_1-v_1 )}{ 2 (u_1+v_1)}$

 

và $ \lim v_n = \frac{1}{ 2 }- \frac{(u_1-v_1) (1-u_1-v_1 )}{ 2 (u_1+v_1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 07-06-2014 - 13:22

[hxthanh]

 

Kết quả tính ra: $ \lim u_n =\frac{1}{ 2 }+ \frac{b_1 (1-a_1 )}{ 2 a_1} = \frac{1}{ 2 }+ \frac{(u_1-v_1) (1-u_1-v_1 )}{ 2 (u_1+v_1)}$

 

và $ \lim v_n = \frac{1}{ 2 }- \frac{(u_1-v_1) (1-u_1-v_1 )}{ 2 (u_1+v_1)}$

Nhìn kết quả là đã thấy sai rồi!

Giả sử cả hai dãy đều là dãy hằng thì theo giả thiết suy ra $u_n+v_n=1$ vậy chỉ cần $u_1=1-v_1\ne \dfrac{1}{2}$ thì chẳng có cái giới hạn nào ở trên đúng cả!

 

 

@supermember: sai cái gì mà sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 25-07-2014 - 23:54

[hxthanh]

Cho hai dãy số $\left ( u_n \right ),\left ( v_n \right )$ xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix}
u_1,v_1\epsilon (0;1) & \\
 u_{n+1}=u_1(1-u_n-v_n)+u_n& \\
 v_{n+1}=v_1(1-u_n-v_n)+v_n&
\end{matrix}\right.$$

Chứng minh hai dãy hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

 

...

Kết quả tính ra: $ \lim u_n =\frac{1}{ 2 }+ \frac{b_1 (1-a_1 )}{ 2 a_1} = \frac{1}{ 2 }+ \frac{(u_1-v_1) (1-u_1-v_1 )}{ 2 (u_1+v_1)}$

 

và $ \lim v_n = \frac{1}{ 2 }- \frac{(u_1-v_1) (1-u_1-v_1 )}{ 2 (u_1+v_1)}$

Lấy một ví dụ cụ thể để chứng minh kết quả của supermember là sai

Cho hai dãy số $\left ( u_n \right ),\left ( v_n \right )$ xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix}
u_1= \frac{1}{4} &\\
v_1= \frac{3}{4} &\\
u_{n+1}=u_1(1-u_n-v_n)+u_n& \\
v_{n+1}=v_1(1-u_n-v_n)+v_n&
\end{matrix}\right.$$

Ta có:

$\begin{cases}u_2=u_1(1-u_1-v_1)+u_1=u_1=\frac{1}{4}\\ v_2=v_1(1-u_1-v_1)+v_1=v_1=\frac{3}{4}\end{cases}$

Từ đây chứng minh bằng quy nạp ta có hai dãy hằng!

$(u_n): \frac{1}{4},\frac{1}{4},...,\frac{1}{4},...$

$(v_n): \frac{3}{4},\frac{3}{4},...,\frac{3}{4},...$

Hiển nhiên $\lim_{n\to \infty} u_n=\frac{1}{4}$

còn $\lim_{n\to \infty} v_n=\frac{3}{4}$

Trong khi đó ... kết quả của supermember là

$\lim_{n\to \infty} u_n=\frac{1}{2}+\frac{(u_1-v_1)(1-u_1-v_1)}{2(u_1+v_1)}=\frac{1}{2}\neq \frac{1}{4}$

$\lim_{n\to \infty} u_n=\frac{1}{2}-\frac{(u_1-v_1)(1-u_1-v_1)}{2(u_1+v_1)}=\frac{1}{2}\neq \frac{3}{4}$