Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Tung 126]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn :

   $f(f(x)-y)=f(x)-f(y)+f(x)f(y)-xy$

[Tru09]

Lời giải :

Đặt $f(0) =a$

Cho$ y =0  \Rightarrow f(f(x)) =f(x) -a +af(x)$

Cho  $x=y=0 \Rightarrow f(a)=a^2$

Đặt $y =f(x) \Rightarrow a =f(x) -f(f(x)) +f(x) .f(f(x)) -xf(x) (*)$

Cho tiếp $x =0 \Rightarrow a =a -a^2 +a^3 $

$\Rightarrow a^2(a-1) =0$

Nếu $a =1 $

Thay $x=0 \Rightarrow f(1-y) =1 -f(y) +f(y) =1 \Rightarrow f(x) \equiv 1$ Thử vào thấy vô lý

Nếu $a =0$

Cho $y =0 \Rightarrow f(f(x)) =f(x)$

Thay tiếp vào $(*) \Rightarrow 0 =f(x) -f(x) +f(x)^2 -xf(x)$

$\Rightarrow f(x)^2 =xf(x)$

Hàm $f(x) \equiv 0$ ta có 1 hàm thỏa mãn

Hàm $f(x) =x$ cũng là hàm thỏa mãn đề bài

Nếu tồn tại $f(x)$ thỏa mãn đề bài mà không trong 1 trong 2 hàm trên

Thì tồn tại $x_0 \neq 0$ sao cho $f(x_0) =0 $

Từ đề bài lấy $x=0 \Rightarrow f(-y) =-f(y)$

Từ đề bài lấy $x =x_0 \Rightarrow f(-y) = -f(y) -yx_0$

$\Rightarrow x_0 =0 \Rightarrow$ vô lý

Vậy ta có 2 hàm trên .