Chủ đề này có 5 trả lời

[Ham học toán hơn]

1)Cho $x,y>0$ thỏa $\sqrt{xy}(x-y)=x+y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=x+y$.

2) Cho $x,y>0$ thỏa $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $B=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}$

3)Cho $x,y>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất :

$M=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

[simplyAshenlong]

Bài 1:
Ta có:

$\sqrt {xy}(x-y)=x+y$
$\Leftrightarrow 4xy(x-y)^2=4(x+y)^2$
Mà theo bất đẳng thức $ab \leq \frac {(a+b)^2}{4}$ thì $4xy(x-y)^2 \leq \frac {(x+y)^4}{4}$
suy ra $\frac {(x+y)^4}{4} \geq 4(x+y)^2$
hay $(x+y) \geq 4$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $x=2+\sqrt{2}$ và $y=2-\sqrt{2}$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi simplyAshenlong: 01-06-2014 - 20:52

[hoctrocuanewton]

 

2) Cho $x,y>0$ thỏa $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $B=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}$

 

$4(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)= 4\sqrt{xy}+4(\sqrt{x}+\sqrt{y})+4\leqslant (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}+4(\sqrt{x}+\sqrt{y})+4$

Áp dụng đk bài toán ta có :

$(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2)^{2}\geqslant 4(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geqslant 16$

$\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\geqslant 2$

Áp dụng BĐT schwars ta có :

$B+2=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}+2\geqslant \frac{(x+y)^{2}}{x+y}+2= (x+1)+(y+1)\geqslant 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})=4$

$\Rightarrow B\geqslant 2$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=1

[buitudong1998]

1)Cho $x,y>0$ thỏa $\sqrt{xy}(x-y)=x+y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=x+y$.

2) Cho $x,y>0$ thỏa $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $B=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}$

3)Cho $x,y>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất :

$M=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

Câu 3:
Gợi ý: $\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}\geqslant \frac{x^{2}}{x^{2}+2y^{^{2}}}$ (biến đổi tương đương)

Tương tự: $\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}\geqslant \frac{2y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}\rightarrow Min M=1$

[Ham học toán hơn]

Câu 3:
Gợi ý: $\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}\geqslant \frac{x^{2}}{x^{2}+2y^{^{2}}}$ (biến đổi tương đương)

Tương tự: $\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}\geqslant \frac{2y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}\rightarrow Min M=1$

$\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}\geqslant \frac{2y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}$

 

Cái phần này em chứng minh tương đương mãi mà chả ra, anh xem giải giúp em với !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ham học toán hơn: 03-06-2014 - 21:27

[buitudong1998]

$\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}\geqslant \frac{2y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}$

 

Cái phần này em chứng minh tương đương mãi mà chả ra, anh xem giải giúp em với !

$BDT\Leftrightarrow \frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}\geqslant \frac{4y^{4}}{x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}}\Leftrightarrow x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}\geqslant 2y^{4}+x^{3}y+3x^{2}y^{2}+3xy^{3}\Leftrightarrow x^{4}+x^{2}y^{2}+2y^{4}-x^{3}y-3xy^{3}\geqslant 0\Leftrightarrow x^{3}(x-y)+y^{2}(x-y)(x-2y)\geqslant 0\Leftrightarrow (x-y)(x^{3}+xy^{2}-2y^{3})\geqslant 0\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}+xy+2y^{2})\geqslant 0$ (Luôn đúng)