Cho $a,b,c$ thuộc đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm max
$\frac{a^2}{2-b}+\frac{b^2}{2-c}+\frac{c^2}{2-a}$
Cho $a,b,c$ thuộc đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm max
$\frac{a^2}{2-b}+\frac{b^2}{2-c}+\frac{c^2}{2-a}$
có : $\frac{a^2}{2-b}+\frac{b^2}{2-c}+\frac{c^2}{2-a}=\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}$
Áp dụng bất đẳng thức schwarz có:
$\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{a+c}=\frac{b}{a+b}=\frac{c}{b+c}=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$ ( tính chất dãy tỉ số bằng nhau )
=> $a=b=c=\frac{2}{3}$
Nếu muốn có được những thứ chưa từng có thì bạn phải làm những việc chưa từng làm.
có : $\frac{a^2}{2-b}+\frac{b^2}{2-c}+\frac{c^2}{2-a}=\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}$
Áp dụng bất đẳng thức schwarz có:
$\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{a+c}=\frac{b}{a+b}=\frac{c}{b+c}=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$ ( tính chất dãy tỉ số bằng nhau )
=> $a=b=c=\frac{2}{3}$
Tìm max mà cậu
AI giải bài này hộ mình với. Max là $\frac{3}{2}$ Dấu bằng xảy ra khi $x,y,z \in \begin{bmatrix} 1;1;0 \end{bmatrix}$ và các hoán vị nhé
$a^{2} \leq a$
từ đó đưa về
tìm max $\sum\frac{a}{a+c}$ bằng cách AMGM ngược dấu vs bđt bunhia phân thức
COME ON!!! ENGLAND
La La La.....i dare you ...........lego
Bạn thử giải đi xem nào.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 03-06-2014 - 18:26
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Cho $a,b,c$ thuộc đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm max
$\frac{a^2}{2-b}+\frac{b^2}{2-c}+\frac{c^2}{2-a}$
Bài này khá hay
Xét : $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )+\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )+\left ( a-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 1$
Ta có : $\frac{a^{2}}{a+c}+\frac{b^{2}}{a+b}+\frac{c^{2}}{b+c}= \sum \left ( a-\frac{ac}{a+c} \right )\leq\sum a-\sum \frac{ac}{2}\leq \frac{3}{2}$
Mình không chắc lắm về đánh giá : $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$
Nhưng nó đúng về dấu =
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 08-06-2014 - 21:54
Bài này khá hay
Xét : $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )+\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )+\left ( a-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 1$
Ta có : $\frac{a^{2}}{a+c}+\frac{b^{2}}{a+b}+\frac{c^{2}}{b+c}= \sum \left ( a-\frac{ac}{a+c} \right )\geq \sum a-\sum \frac{ac}{2}\geq \frac{3}{2}$
Mình không chắc lắm về đánh giá : $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$
Nhưng nó đúng về dấu =
Ngược dấu rồi bạn
Ngược dấu rồi bạn
mình sửa rồi
nhưng theo cách của synovn27 thì BDT chở thành $\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}\geq \frac{3}{2}$
Thì BDT ngược dấu rồi mà
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 08-06-2014 - 22:03
Bài này khá hay
Xét : $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )+\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )+\left ( a-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 1$
Ta có : $\frac{a^{2}}{a+c}+\frac{b^{2}}{a+b}+\frac{c^{2}}{b+c}= \sum \left ( a-\frac{ac}{a+c} \right )\leq\sum a-\sum \frac{ac}{2}\leq \frac{3}{2}$
Mình không chắc lắm về đánh giá : $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$
Nhưng nó đúng về dấu =
Đánh giá $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$ đâu xảy ra dấu bằng nhỉ
Dấu = xảy ra khi (a;b;c)=(1;1;0) thôi
VD với bộ 3 Số a=b=1;c=0 bạn thay vào xem; $\sum \frac{ac}{a+c}= \sum \frac{ac}{2}$
Cách giải của mình:
Ta chứng minh $\sum \frac{ab+1}{a+b}\geq 3$
Thật vậy, ta có:
$\sum \frac{ab+1}{a+b}\geq \sqrt{3\sum (\frac{ab+1}{a+b}.\frac{bc+1}{b+c})}$
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh:
$\sum (\frac{ab+1}{a+b}.\frac{bc+1}{b+c})\geq 3$
Bất đẳng thức tương đương
$\sum (\frac{ab+1}{a+b}.\frac{bc+1}{b+c})=\frac{\sum (ab+1)(bc+1)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2(a+b+c)+\sum a(b^2+c^2)+2abc(ab+bc+ca)+6abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{2(a+b+c)+\sum a(b^2+c^2)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)+\sum a(b^2+c^2)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 3$
(Do $ab+bc+ca\geq 1$)
Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{5}{2}$
Đặt $a+b=x$, $b+c=y$, $c+a=z$, do $a,b,c\geq 1$ nên $x,y,z\in [1,2]$ và $x+y+z=4$
Ta có: $(x-1)(x-2)\leq 0\Leftrightarrow x^2+2\leq 3x\Leftrightarrow x+\frac{2}{x}\leq 3$
Tương tự ta có: $\sum x+\sum \frac{2}{x}\leq 9\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}\leq \frac{5}{2}$ (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 10-06-2014 - 19:25
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh