Chủ đề này có 1 trả lời

[Juliel]

Cho dãy $(u_n)$ :

$$\left\{\begin{matrix} u_0=1,u_2=2\\ u_{n+2}=3u_{n+1}+u_n,\;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$

Với mỗi số nguyên dương $n$, ta gọi $r_n$ là số dư khi chia $u_n$ cho $2013$. Chứng minh rằng dãy $(r_n)$ là dãy tuần hoàn.

[davidhg1719]

Ta có $r_{n+2}\equiv 3r_{n+1}+r_{n}(mod2013)$

Xét các bộ $(r_{m};r_{m+1})$

Vì số các giá trị của bộ là hữu hạn mà số các bộ là vô hạn nên $\exists t: (r_{m};r_{m+1})=(r_{m+t};r_{m+t+1})$

Từ đó quy nạp ta được đpcm, 

Lưu ý: Có thể tổng quát 2013 bởi 1 số nguyên dương bất kỳ