Chủ đề này có 1 trả lời

[Juliel]

Với $p$ là một số nguyên tố, xét dãy $(a_n)$ như sau :

$$\left\{\begin{matrix} a_0=0,a_1=1\\ a_{k+2}=2a_{k+1}-pa_k,\;\forall k\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$$

Xác định tất cả các giá trị của $p$ để $-1$ là một phần tử của dãy

[vanhuongsky]

$a_{k+2}=2a_{k+1}-pa_{k} (1)$

*Từ (1) suy ra $a_{k+2}\equiv 2a_{k+1} (mod p)$ $\Rightarrow a_{u+1}\equiv 2^{u}(mod p)$

$\Rightarrow 2^{u}+1\equiv 0 (mod p)(2)$

*Từ (1) suy ra $a_{k+2}-a_{k+1}\equiv a_{k+1}-a_{k}(mod (p-1)) \Rightarrow a_{k+2}-a_{k+1}\equiv a_{1}-a_{0} (mod(p-1))$

$\Rightarrow a_{u+1}\equiv a_{1}+u(mod(p-1))\Rightarrow u+2\equiv 0(mod (p-1))$(3)$

Từ (2) và (3) suy ra $(2^{u+2}-1)+5 \equiv 0 (mod p) \Rightarrow p=5$ (do định lý Fecmar )

Thử lại p=5 thì a_{3}=-1 thỏa mãn. 

Vậy p=5