Chủ đề này có 2 trả lời

[songokucadic1432]

Với mọi số x,y,z$\geq 1$ chứng minh:

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

 

 

Với mọi x,y,z dương chứng minh :

$(1+x)(1+y)\geq (1+\sqrt{xy})^2$

$(x+1)(y+1)(z+1)\geq (1+\sqrt[3]{xyz})^3$

[phamquanglam]

Với mọi số x,y,z$\geq 1$ chứng minh:

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

 

 

Với mọi x,y,z dương chứng minh :

$(1+x)(1+y)\geq (1+\sqrt{xy})^2$

$(x+1)(y+1)(z+1)\geq (1+\sqrt[3]{xyz})^3$

mình xin làm nha!!!!!!!!

Bài 1: 

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ (1)

Ta có $x,y\geq 1\Rightarrow xy\geq 1$

Từ (1) ta có: $\frac{2+x+y}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}\Rightarrow (2+x+y)(1+\sqrt{xy})\geq 2(1+x)(1+y)$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{xy}+(x+y)\sqrt{xy}-(x+y)-2xy\geq 0$

Nhưng điều này luôn đúng theo AM-GM:

$(x+y)(\sqrt{xy}-1)\geq 2\sqrt{xy}(\sqrt{xy}-1)\Leftrightarrow (x+y)(\sqrt{xy}-1)+2\sqrt{xy}-2xy\geq 0$ (đpcm)

Vậy BĐT đã đc chứng minh xong!!!!!!

Bài 2:

Bài này bạn làm tương tự như trên. (P/s: giờ mình chưa nghĩ ra cách nào khả quan hơn!)

Bài 3:

Bài này là BSC đơn giản thôi mà!!!!!!!!!      

Áp dụng: $(a+b)(c+d)\geq (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^{2}$

Bài 4: 

Ta có: $\frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{x^{3}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{m^{3}}{m^{3}+n^{3}}\geq \frac{3axm}{\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(x^{3}+y^{3})(m^{3}+n^{3})}}$

$\frac{b^{3}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{n^{3}}{m^{3}+n^{3}}\geq \frac{3byn}{\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(x^{3}+y^{3})(m^{3}+n^{3})}}$

Cộng 2 vế của BĐT lại ta có: 

$3\geq \frac{3(axm+byn)}{\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(x^{3}+y^{3})(m^{3}+n^{3})}}\Leftrightarrow \sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(x^{3}+y^{3})(m^{3}+n^{3})}\geq axm+byn$

Lập phương lên:

$(a^{3}+b^{3})(x^{3}+y^{3})(m^{3}+n^{3})\geq (axm+byn)^{3}$

Áp dụng:

$(x+1)(y+1)(z+1)\geq (1+\sqrt[3]{xyz})^{3}$(đpcm)

           

[synovn27]

Với mọi số x,y,z$\geq 1$ chứng minh:

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

 

 

Với mọi x,y,z dương chứng minh :

$(1+x)(1+y)\geq (1+\sqrt{xy})^2$

$(x+1)(y+1)(z+1)\geq (1+\sqrt[3]{xyz})^3$

câu 1 chúng ta nhân tung ra biến đổi tương đương cũng đk