Chủ đề này có 6 trả lời

[denyoblur]

Cho các số dương x, y, z. Chứng mình bất đẳng thức:

 

$\sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}} + \sqrt{\frac{z}{y+x}} > 2$

[phamquanglam]

thế này nhá!!!!!!!!

$\sqrt{\frac{y+z}{x}}\leq \frac{\frac{y+z}{x}+1}{2}= \frac{x+y+z}{2x}\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

tương tự cho mấy cái còn lại

cuối cùng ta có: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geq \frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2$

dấu "=" ko thể xảy ra (phần này bạn tự tìm nha!) 

Nên: $\sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}> 2$ (đpcm)        

[toanc2tb]

Cho các số dương x, y, z. Chứng mình bất đẳng thức:

 

$\sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}} + \sqrt{\frac{z}{y+x}} > 2$

 

 

thế này nhá!!!!!!!!

$\sqrt{\frac{y+z}{x}}\leq \frac{\frac{y+z}{x}+1}{2}= \frac{x+y+z}{2x}\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

tương tự cho mấy cái còn lại

cuối cùng ta có: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geq \frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2$

dấu "=" ko thể xảy ra (phần này bạn tự tìm nha!) 

Nên: $\sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}> 2$ (đpcm)        

 

Ta có:

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

Rồi làm như trên cũng được!

[Love Inequalities]

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:

$\left ( \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \right )\left ( x\sqrt{x\left ( y+z \right )}+y\sqrt{y\left ( z+x \right )}+z\sqrt{z\left ( x+y \right )} \right )\geq (x+y+z)^{2}$

<=>$\left ( \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \right )\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x\sqrt{xy+xz}+y\sqrt{xy+yz}+z\sqrt{yz+zx}}$

      $\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{x^{2}+y^{2}=z^{2}+2xy+2xz+2zx}{2}}=2$

Dấu "=" không xảy ra nên  $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$

[toanc2tb]

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:

$\left ( \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \right )\left ( x\sqrt{x\left ( y+z \right )}+y\sqrt{y\left ( z+x \right )}+z\sqrt{z\left ( x+y \right )} \right )\geq (x+y+z)^{2}$

<=>$\left ( \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \right )\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x\sqrt{xy+xz}+y\sqrt{xy+yz}+z\sqrt{yz+zx}}$

      $\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{x^{2}+y^{2}=z^{2}+2xy+2xz+2zx}{2}}=2$

Dấu "=" không xảy ra nên  $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$

 

Dấu cộng nhé bạn! Cách giải hay lắm! 

$$\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2zx}{2}}=2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanc2tb: 29-06-2014 - 13:14

[dogsteven]

Chuẩn hoá $x+y+z=1$

 

BDT trở thành: $\sum \sqrt{\dfrac{x}{1-x}} \ge 2(\sum x)=2$ (Chứng minh ngược lại là được)

 

Dấu bằng xảy ra khi $(x;y;z)=(0;\dfrac{1}{2}k;\dfrac{1}{2}k)$ và các hoán vị nhưng không thoả điều kiện $x,y,z>0$

 

Vậy $\sum \sqrt{\dfrac{x}{y+z}} > 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 29-06-2014 - 14:40

[Love Inequalities]

Dấu cộng nhé bạn! Cách giải hay lắm! 

$$\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2zx}{2}}=2$$

cảm ơn bạn