Bài 4. Ta chú ý tới bài toán quen thuộc $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$ thì $\dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{1}{ca+c+1}=1$
Chứng minh: $\dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{1}{ca+c+1}=\dfrac{abc}{ab+a+abc}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bca+bc+b}$
$=\dfrac{bc}{b+1+bc}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{1+bc+1}=1$(đpcm)
Trở lại bài toán, ta có $\sum \dfrac{1}{ab+a+2}=\sum \dfrac{3}{3(ab+a+1)+3}=\sum \dfrac{3}{16}.\dfrac{16}{3(ab+a+1)+3} \leq \sum \dfrac{3}{16}(\dfrac{3}{ab+a+1}+\dfrac{1}{3})=\dfrac{3}{16}.(\sum \dfrac{3}{ab+a+1})+\dfrac{3}{16}=\dfrac{9}{16}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 06-06-2014 - 18:49